Giải bài tập Toán 12 Chương 2. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian | Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập thuộc Chương II. Vectơ và hệ tọa độ trong không gian. sách giáo khoa Chân trời sáng tạo. Vectơ và các phép toán trong không gian. Toạ độ của vectơ trong không gian. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.
Giải bài tập Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian.
Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh các biểu thức sau là đúng. Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1
Bài 2 trang 51 Toán 12 Tập 1
Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh biểu thức sau là đúng. Bài 2 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 3 trang 51 Toán 12 Tập 1
Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực. Bài 3 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh biểu thức sau là đúng. Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 5 trang 51 Toán 12 Tập 1
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', chứng minh các biểu thức sau là đúng. Bài 5 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 6 trang 51 Toán 12 Tập 1
Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam. Bài 6 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 7 trang 51 Toán 12 Tập 1
Trong điện trương đều, tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi biết điện tích q và độ lớn điện trường E. Bài 7 trang 51 Toán 12 Tập 1
Bài 8 trang 51 Toán 12 Tập 1
Một lực tĩnh điện tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MPN, tính công A sinh bởi lực tĩnh điện. Bài 8 trang 51 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khởi động trang 41 Toán 12 Tập 1
Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất. Hoạt động khởi động trang 41 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 1 trang 41 Toán 12 Tập 1
Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không? Hoạt động khám phá 1 trang 41 Toán 12 Tập 1
Thực hành 1 trang 42 Toán 12 Tập 1
Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát. Thực hành 1 trang 42 Toán 12 Tập 1
Thực hành 2 trang 42 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy. Thực hành 2 trang 42 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 1 trang 43 Toán 12 Tập 1
Trong Hình 4, cho biết ba vectơ F1, F2, F3 biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không? Vận dụng 1 trang 43 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 2 trang 43 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5). Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng AB + BC; A'B' + B'C'. Hoạt động khám phá 2 trang 43 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm các vectơ tổng AB + AD; AC + AA'. Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 12 Tập 1
Thực hành 3 trang 45 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ sau. Thực hành 3 trang 45 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 4 trang 45 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ hiệu AB - AD và A'B' - A'D'. Hoạt động khám phá 4 trang 45 Toán 12 Tập 1
Thực hành 4 trang 46 Toán 12 Tập 1
Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ sau. Thực hành 4 trang 46 Toán 12 Tập 1
Thực hành 5 trang 46 Toán 12 Tập 1
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây. Thực hành 5 trang 46 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 2 trang 46 Toán 12 Tập 1
Ba lực F1, F2, F3 cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho. Vận dụng 2 trang 46 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 5 trang 46 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O (Hình 18). Tìm vectơ AB + AD +AA'. Hoạt động khám phá 5 trang 46 Toán 12 Tập 1
Thực hành 6 trang 47 Toán 12 Tập 1
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Thực hành 6 trang 47 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 1
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có góc ASC = 60° (Hình 22). Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 6 trang 48 Toán 12 Tập 1
Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ u và v trong mặt phẳng. Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ u và v trong không gian. Hoạt động khám phá 6 trang 48 Toán 12 Tập 1
Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc sau đây. Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 7 trang 49 Toán 12 Tập 1
Trong không gian, cho u và v thoả mãn |u| = 2; |v| = 3. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB = u; AC = v (Hình 25). Giả sử góc BAC = 60°. Hoạt động khám phá 7 trang 49 Toán 12 Tập 1
Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính các tích vô hướng sau đây. Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27). Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1
Giải bài tập Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian.
Bài 1 trang 56 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ các vectơ theo yêu cầu đề bài. Bài 1 trang 56 Toán 12 Tập 1
Bài 2 trang 56 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, tính các vectơ theo yêu cầu đề bài. Bài 2 trang 56 Toán 12 Tập 1
Bài 3 trang 56 Toán 12 Tập 1
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2, thực hiện các yêu cầu đề bài. Bài 3 trang 56 Toán 12 Tập 1
Bài 4 trang 57 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm tọa độ của các điểm A, B, C, S. Bài 4 trang 57
Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, tìm tọa độ các vectơ với M là trung điểm của cạnh SC theo yêu cầu đề bài. Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1
Bài 6 trang 57 Toán 12 Tập 1
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như Hình 16, tìm tọa độ vectơ AB. Bài 6 trang 57 Toán 12 Tập 1
Bài 7 trang 57 Toán 12 Tập 1
Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Bài 7 trang 57 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khởi động trang 52 Toán 12 Tập 1
Trong kiểm soát không lưu, người ta dùng bộ ba số để xác định vị trí của máy bay. Người ta đã làm điều đó như thế nào? Hoạt động khởi động trang 52 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 1 trang 52 Toán 12 Tập 1
Cho hình lập phương OABC.O'A'B'C' có cạnh bằng 1. Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ i, j, k. Hoạt động khám phá 1 trang 52 Toán 12 Tập 1
Thực hành 1 trang 53 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1 (Hình 4). Thực hành 1 trang 53 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 1 trang 53 Toán 12 Tập 1
Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian Oxyz như Hình 5b. Vận dụng 1 trang 53 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 2 trang 53 Toán 12 Tập 1
Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' có cạnh OA = 3, OC = 5, OO' = 2. Vẽ ba vectơ đơn vị i, j, k lần lượt trên các cạnh OA, OC, OO'. Biểu diễn vectơ OB' theo ba vectơ i, j, k. Hoạt động khám phá 2 trang 53 Toán 12 Tập 1
Thực hành 2 trang 54 Toán 12 Tập 1
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A; các điểm B, D, A' lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ các điểm B, C, C'. Thực hành 2 trang 54 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a. Vẽ điểm A sao cho vectơ OA = vectơ a. Gọi (a1, a2, a3) là tọa độ của điểm A. Hãy biểu diễn vectơ a theo ba vectơ đơn vị i, j, k. Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 12 Tập 1
Thực hành 3 trang 56 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11). Thực hành 3 trang 56 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 2 trang 56 Toán 12 Tập 1
Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, góc NOB = 32°, góc MOC = 65°. Tìm tọa độ điểm M. Vận dụng 2 trang 56 Toán 12 Tập 1
Giải bài tập Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.
Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1
Tính các biểu thức sau với số liệu cho sẵn. Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho hai vectơ a và b, tìm tọa độ vectơ theo yêu cầu đề bài. Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ ba điểm A, B, C, thực hiện các yêu cầu đề bài. Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho điểm M(1; 2; 3), tìm tọa độ của các điểm thỏa yêu cầu đề bài. Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ 3 điểm A, B, C, tìm các điểm thỏa yêu cầu đề bài. Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho các điểm A, B, C, D, chứng minh rằng ABCD là hình thang. Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ ABCD.A'B'C'D' biết tọa độ các điểm A, B, C, D, tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1
Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 1
Tình công sinh bởi lực tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển. Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khởi động trang 58 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng Oxy không? Hoạt động khởi động trang 58 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 1 trang 58 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) với số thực m. Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ i, j , k. Hoạt động khám phá 1 trang 58 Toán 12 Tập 1
Thực hành 1 trang 59 Toán 12 Tập 1
Cho ba vectơ a, b ,c. Tìm tọa độ của vectơ sau đây. Thực hành 1 trang 59 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 1 trang 59 Toán 12 Tập 1
Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc vectơ v = (10; 8; -3) (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là vectơ w = (3,5; 1; 0). Vận dụng 1 trang 59 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 2 trang 59 Toán 12 Tập 1
Cho hai vectơ a, b. Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ i, j, k. Tính các tích vô hướng sau. Tính tích vô hướng a.b theo toạ độ của hai vectơ a và b. Hoạt động khám phá 2 trang 59 Toán 12 Tập 1
Thực hành 2 trang 60 Toán 12 Tập 1
Thực hành 2 trang 60 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 2 trang 60 Toán 12 Tập 1
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực vectơ f = (5; 4; -2) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời vectơ a = (70; 20; -40) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực vectơ f. Vận dụng 2 trang 60 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 3 trang 60 Toán 12 Tập 1
Cho hai điểm A, B. Từ biểu thức AB = OB - OA, tìm tọa độ của vectơ AB theo tọa độ hai điểm A, B. Hoạt động khám phá 3 trang 60 Toán 12 Tập 1
Thực hành 3 trang 61 Toán 12 Tập 1
Cho ba điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4), P(0; −6; 5). Tìm tọa độ của các vectơ MN, NP, MP. Tính các độ dài MN, NP, MP. Thực hành 3 trang 61 Toán 12 Tập 1
Hoạt động khám phá 4 trang 61 Toán 12 Tập 1
Cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB và G(xG; yG; zG) là trọng tâm của tam giác ABC. Hoạt động khám phá 4 trang 61 Toán 12 Tập 1
Thực hành 4 trang 62 Toán 12 Tập 1
Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3;−1; 0). Tìm tọa độ các điểm M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN và trọng tâm G của tam giác M'N'P'. Thực hành 4 trang 62 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 3 trang 62 Toán 12 Tập 1
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ các điểm A, S, B, C. Vận dụng 3 trang 62 Toán 12 Tập 1
Thực hành 5 trang 63 Toán 12 Tập 1
Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2). Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP. Tìm độ dài cạnh MN và MP. Tính góc M. Thực hành 5 trang 63 Toán 12 Tập 1
Vận dụng 4 trang 64 Toán 12 Tập 1
Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11; 4). Tính các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.Vận dụng 4 trang 64 Toán 12 Tập 1
Giải bài tập Bài tập cuối chương 2.
Bài 1 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho điểm M thỏa mãn biểu thức sau, tìm tọa độ điểm M. Bài 1 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 2 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ hai điểm A và B, tìm tọa độ vectơ Ab. Bài 2 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 3 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ hai điểm A và B, tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thằng AB
Bài 4 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho ba điểm A, B, C, tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 4 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 5 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ ba điểm A, B, C, tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 5 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 6 trang 65 Toán 12 Tập 1
Tìm góc alpha tạo vởi hai vectơ u và v. Bài 6 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 7 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ ba điểm A, B, C, tìm tích vô hướng của vectơ AB và BC. Bài 7 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 8 trang 65 Toán 12 Tập 1
Cho tọa độ hai điểm A và B, tìm tọa độ điểm M thỏa biểu thức sau. Bài 8 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 9 trang 65 Toán 12 Tập 1
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' như Hình 1, biết tọa độ điểm B', thực hiện các yêu cầu đề bài. Bài 9 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 10 trang 65 Toán 12 Tập 1
Tìm tọa độ của điểm P được biểu diễn trong Hình 2 và tính khoảng cách OP. Bài 10 trang 65 Toán 12 Tập 1
Bài 11 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho ba vectơ u, v, w, tìm tọa độ vectơ a thỏa biểu thức sau. Bài 11 trang 66 Toán 12 Tập 1
Bài 12 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho ba điểm A, B và C, gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MB = 3MC, tính độ dài đoạn thẳng AM. Bài 12 trang 66 Toán 12 Tập 1
Bài 13 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho hai vectơ u va v tạo với nhau góc 60 độ, thực hiện yêu cầu đề bài. Bài 13 trang 66 Toán 12 Tập 1
Bài 14 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho hai điểm A và B, tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ, tính diện tích tam giác OAB. Bài 14 trang 66 Toán 12 Tập 1
Bài 15 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc a, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A, thực hiện yêu cầu đề bài. Bài 15 trang 66 Toán 12 Tập 1
Bài 16 trang 66 Toán 12 Tập 1
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Bài 16 trang 66 Toán 12 Tập 1