Giải bài tập Hoạt động khởi động trang 58 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1: Tính:

a) $\overrightarrow{ a }.\overrightarrow{ b }$ với $\overrightarrow{ a } = \left(5; 2; -4\right), \overrightarrow{ b } = \left(4; -2; 2\right).$

b) $\stackrel{}{}$với $\overrightarrow{ c } = \left(2; -3; 4\right), \overrightarrow{ d } = \left(6; 5; -3\right).$

Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{ a } = \left(0; 1; 3\right) và \overrightarrow{ b } = \left(-2; 3; 1\right).$ Tìm tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{ b } - \frac{3}{2}\overrightarrow{ a }.$

Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A$(2; 1; -1),$ B$(3; 2; 0)$ và C$(2; -1; 3).$

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm $A(3; 3; 3), B(1; 1; 2) và C(5; 3; 1).$

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ cách đều ba điểm A, B, C.

Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho các điểm $A(-1; -1; 0), B(0; 3; -1), C(-1; 14; 0), D(-3; 6; 2).$ Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 1: Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{\mathrm{F} }\left(20; 30; -10\right)$  (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng (Hình 7) khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{ d } = \left(150; 200; 100\right)$ (đơn vị: m).

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho điểm M$(1; 2; 3).$ Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng $\left(Oxy\right), \left(Oyz\right), \left(Oxz\right).$

b) Gọi $M^{\text{'}}, M^{"}, M^{\text{'}\text{'}\text{'}}$ lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• $M{M}^{"}$vuông góc với mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ tại điểm H sao cho H là trung điểm của $M{M}^{"}$.

• $M{M}^{\text{'}\text{'}\text{'}}$ vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của $M{M}^{\text{'}\text{'}\text{'}}.$

Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$có $A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C\text{'}(4; 5; -5).$ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ với số thực m.

a) Biểu diễn từng vectơ  và theo ba vectơ .

b) Biểu diễn các vectơ theo ba vectơ , từ đó suy ra tọa độ của các vectơ .

Cho ba vectơ = (2; -5; 3), = (0; 2; -1), = (1; 7; 2).

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ của vectơ .

c) Chứng minh cùng phương với vectơ = (-6; 15; -9).

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc = (10; 8; -3) (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là = (3,5; 1; 0).

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc  và .

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc = (7; 2; 0), hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Cho hai vectơ .

a) Biểu diễn từng vectơ  và theo ba vectơ .

b) Tính các tích vô hướng .

c) Tính tích vô hướng theo tọa độ của hai vectơ  và .

Cho ba vectơ = (-5; 4; 9), = (2; -7; 0), = (6; 3; -4).

a) Tính .

b) Tính .

c) Cho = (1; -2; 0). Vectơ có vuông góc với  không?

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực = (5; 4; -2) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời = (70; 20; -40) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực .

Cho hai điểm . Từ biểu thức , tìm tọa độ của vectơ theo tọa độ hai điểm A, B.

Cho ba điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4), P(0; −6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ .

b) Tính các độ dài MN, NP, MP. 

Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB và G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm của tam giác ABC. Sử dụng các hệ thức vectơ , tìm tọa độ của các điểm M và G.

Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3;−1; 0). Tìm tọa độ:

a) Các điểm M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN;

b) Trọng tâm G của tam giác M'N'P'.

Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm A, S, B, C.

b) Trung điểm M của SB và trung điểm N của SC.

c) Trọng tâm G của tam giác SBC.

Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tìm độ dài cạnh MN và MP.

c) Tính góc M.