Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian. | Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}};$

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}};$

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}.$

Bài 2 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA } + \overrightarrow{SC } = \overrightarrow{SB } +\hspace{0.17em}\overrightarrow{SD }$

Bài 3 trang 51 Toán 12 Tập 1: Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.

Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow{SA } + \overrightarrow{SB } + 2\overrightarrow{SC } + \overrightarrow{SD } = 3\left(\overrightarrow{SI } + \overrightarrow{SJ }\right).$

Bài 5 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}} } = \overrightarrow{a }, \overrightarrow{AB } = \overrightarrow{b }, \overrightarrow{AC } = \overrightarrow{c }.$ Chứng minh rằng  $\overrightarrow{B^{\text{'}}C } = \overrightarrow{c } - \overrightarrow{a } - \overrightarrow{b } và \overrightarrow{B{C}^{\text{'}} } = \overrightarrow{a } - \overrightarrow{b } + \overrightarrow{c }.$

Bài 6 trang 51 Toán 12 Tập 1: Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P }$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P } = m\overrightarrow{g },$ trong đó $\overrightarrow{g }$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g = 9,8 m/s^2$. Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).

Bài 7 trang 51 Toán 12 Tập 1: Trong điện trường đều, lực tĩnh điện $\overrightarrow{F }$ (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q (đơn vị: C) được tính theo công thức $\overrightarrow{F } = q.\overrightarrow{E },$ trong đó $\overrightarrow{E }$ là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi $q = {10}^{-9} \mathrm{C}$ và độ lớn điện trường $E = {10}^5 \mathrm{N}/\mathrm{C}$ (Hình 29).

Bài 8 trang 51 Toán 12 Tập 1: Một lực tĩnh điện $\overrightarrow{F }$ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MPN (Hình 30). Biết $q = 2.{10}^{-12} \mathrm{C}$, vectơ điện trường có độ lớn $E = 1,8.{10}^5 \mathrm{N}/\mathrm{C} \mathrm{và} \mathrm{d} =\mathrm{MH} = 5 \mathrm{mm}$. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F }.$

Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất.

Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?

Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ .

c) Tìm các vectơ đối của vectơ .

Trong Hình 4, cho biết ba vectơ  biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ tổng .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ  và ;  và ;  và .

c) Giải thích tại sao = . 

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Tìm các vectơ tổng .

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh .

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ:

a) ;

b) .

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ hiệu .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ hiệu .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ  và ;  và ;  và .

c) Giải thích tại sao = .

Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ:

a) ;

b) .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) ;

b) .

Ba lực  cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O (Hình 18).

a) Tìm vectơ .

b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a và vectơ .

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Đặt . Chứng minh rằng: .

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có (Hình 22).

a) Sử dụng công thức  trong đó là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s², tìm độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ  và trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ  và trong không gian.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc .

Trong không gian, cho  và thoả mãn . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho (Hình 25). Giả sử .

a) Tính góc .

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: .

b) Tính góc (kết quả làm tròn đến phút).

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn là g = 9,8 m/s².

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực có độ dịch chuyển được tính bởi công thức A = . Hãy tính công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.