Giải bài tập Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1. Bài 1: Giới hạn của dãy số. Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
a) Bắt đầu một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình Hn(n = 1, 2, 3, ...).
Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
H2 có 5.5 = 52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
Từ đó, nhận được Hn có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
a) Tính diện tích Sn của Hn và tính lim Sn.
b) Tính chu vi pn của Hn và tính limpn.
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim Sn và chu vi limpn).
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Diện tích Sn của Hn là
Khi đó
b) Chu vi pn của Hn là:
Khi đó limpn = lim
= 0
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1
Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1
Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
b)
Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1
Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.
Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1
Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an, Sn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn và Qn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1
Cho dãy số (un) với .
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
b) Với n như thế nào thì |un| bé hơn 0,01; 0,001?
c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.
Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?
Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1
Cho dãy số (un) với .
a) Cho dãy số (vn) với vn = un – 2. Tìm giới hạn lim vn.
b) Biểu diễn các điểm u1, u2, u3, u4 trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un khi n trở nên rất lớn?
Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1
Ở trên ta đã biết .
a) Tìm các giới hạn lim 3 và .
b) Từ đó, nêu nhận xét về và lim 3 + .
Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1
Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).
a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).
b) Tính tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).
c) Tìm giới hạn limSn và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.
Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1
Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu un (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.
a) Với n như thế nào thì un vượt quá 10 000; 1 000 000?
b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?