Giải bài tập Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1 | Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1. Bài tập cuối chương 5. Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2} \vec{MO} .$

Đáp án và cách giải chi tiết:

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\vec{MK} + \vec{MG} = \vec{MA}; \vec{MH} + \vec{MJ} = \vec{MB}; \vec{MI} + \vec{ML} = \vec{MC}$ (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \hat{MHL} = \hat{B} = 60 °$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \hat{MLH} = \hat{C} = 60 °$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\vec{MH} + \vec{ML} = 2 \vec{MD}$

Chứng minh tương tự ta có: $\vec{MK} + \vec{MJ} = 2 \vec{MF}; \vec{MG} + \vec{MI} = 2 \vec{ME}$

Do đó: $2 \vec{MD} + 2 \vec{ME} + 2 \vec{MF} = \vec{MH} + \vec{ML} + \vec{MG} + \vec{MI} + \vec{MK} + \vec{MJ}$

$= (\vec{MK} + \vec{MG}) + (\vec{MH} + \vec{MJ}) + (\vec{MI} + \vec{ML})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2 (\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF}) = \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MO}$

Do đó: $2 (\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF}) = 3 \vec{MO}$

Suy ra $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2} \vec{MO}$

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Xem cách giải chi tiết

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{AC}, \vec{BD}$

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AD}; \vec{u} = \vec{AB} - \vec{AD}; \vec{v} = 2 \vec{AB} - \vec{AC}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{CE} = \vec{AN}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\vec{NC} và \vec{MC}; \vec{AM} và \vec{CD}; \vec{AD} và \vec{NC}$

b) Tìm các vectơ hiệu: $\vec{NC} - \vec{MC}; \vec{AC} - \vec{BC}; \vec{AB} - \vec{ME}$

c) Chứng minh $\vec{AM} + \vec{AN} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

b) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

Xem cách giải chi tiết

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a} và \vec{b}$ .

Xem cách giải chi tiết

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{AB} = \vec{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Xem cách giải chi tiết

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\vec{RJ} + \vec{IQ} + \vec{PS} = \vec{0}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Xem cách giải chi tiết

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là 30° và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Xem cách giải chi tiết

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.