Giải bài tập Toán 12 Bài 3. Tích phân. | Cánh Diều

Bài 1 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân  có giá trị bằng:

A.                                                C.

Bài 2 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân  có giá trị bằng:

A.

B.

C.

D.

Bài 3 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tích phân  có giá trị bằng:

A. $-1ln3$.

B. .

C. .

D. .

Bài 4 trang 26 Toán 12 Tập 2: Cho , là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn , . Tính

Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 2: Cho . Tính $\stackrel{}{}$

Bài 6 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính:

a) ${\int }_0^1(x^6-4x^3+3x^2)dx$                                              g) ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\tan }^{2}xdx$

b) ${\int }_1^2\frac{1}{x^4}dx$                                                                       h) ${\int }_{-1}^0{e}^{-x}dx$

c) ${\int }_1^4\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$                                                                     i) ${\int }_{-2}^{-1}{e}^{x+2}dx$

d) ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(4\sin x+3\cos x)dx$                                             k) ${\int }_0^1(3.4^x-5e^{-x})dx$

e) ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}co{t}^{2}xdx$

Bài 7 trang 27 Toán 12 Tập 2: 

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc $y=v\left(t\right)$ (m/s). Cho $0<a<b$ và $v\left(t\right)>0$ với mọi $t\in \left[a;b\right]$. Hãy giải thích vì sao ${\int }_a^{b}v\left(t\right)dt$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a, b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc $v\left(t\right)=2-\sin t$ (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t=0$ (giây) đến thời điểm $t=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ (giây).

Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2: Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử là nồng độ chất A (đơn vị mol L­^{– 1}) tại thời gian x (giây), với , thoả mãn hệ thức với . Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}.

a) Xét hàm số với . Hãy tính, từ đó hãy tìm hàm số .

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^{– 1}) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức . Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Làm thế nào để tính diện tích của logo?

Cho hàm số y = f(x) = x². Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả các điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho 1 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ x² (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Chia đoạn [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

(Hình 5).

a) Tính diện tích T₀ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₀; x₁] với chiều cao là f(x₀).

Tính diện tích T_1­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₁; x₂] với chiều cao là f(x₁).

Tính diện tích T_2­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₂; x₃] với chiều cao là f(x₂).

…

Tính diện tích T_{n – 1­} của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x_{n – 1}; x_n] với chiều cao là f(x_n–1).

b) Đặt S_n = T₀ + T₁ + T₂ + … + T_{n – 1}. Chứng minh rằng:

S_n = .[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_{n – 1})].

Tổng S_n gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số f(x) = x² trên đoạn [1; 2].

Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 2x (x ∈ [0; 2]). Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = 2x, trục Ox và đường thẳng x = 2.

a) Tính diện tích tam giác vuông OAB.

b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên đoạn [0; 2]. Tính F(2) – F(0). Từ đó hãy chứng tỏ rằng S_{tam giác vuông OAB} = F(2) – F(0).

Cho hàm số f(x) = x².

a) Chứng tỏ F(x) = , G(x) = là các nguyên hàm của hàm số f(x) = x².

b) Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.

Tính .

So sánh  và .

Cho = 2. Tính .

So sánh:

Tính .

So sánh  và .

Tính .

Tính:

Tính .

Tính:

Tính: