Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số. | Cánh Diều

Bài 1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; +\infty )$.

B. $(– 1; 0)$.

C. $(– 1; 1)$.

D. $(0; 1)$.

Bài 2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 2.

B. 3.

C. – 4.

D. 0.

Bài 3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) $y=–x^3+2x^2–3$;

b) $y=x^4+2x^2+5$;

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$;

d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$.

Bài 4 trang 13 Toán 12 Tập 1:  Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$;

b) $y=-x^4-2x^2+9$;

c) $y=x+\frac{1}{x}$.

Bài 5 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)=x^4-2x^2+2; g\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-3$ có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b.

Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Bài 6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Thể tích V (đơn vị: cm³) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (đơn vị: °C) với 0 ≤ T ≤ 30 được tính bởi công thức sau:

$V\left(T\right) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T^2 – 0,0000679T^3$.

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi thể tích V(T) với 0 ≤ T ≤ 30, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Bài 7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau:

$v\left(t\right) = 0,001302t^3 – 0,09029t^2 + 23$, (v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Câu hỏi khởi động trang 5 Toán 12 Tập 1: Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (0 ≤ x ≤ 300) được cho bởi hàm số y = – x³ + 300x² (đơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hình 1.

Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm y' có mối liên hệ với nhau như thế nào?

Hoạt động 1 trang 5 Toán 12 Tập 1: a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K ⊂ ℝ, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số y = f(x) = x² có đồ thị như Hình 2.

• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

• Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 2x.

• Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x² và dấu của đạo hàm f'(x) = 2x trên mỗi khoảng (– ∞; 0), (0; + ∞).

• Hoàn thành bảng biến thiên sau

Luyện tập 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Luyện tập 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 

Hoạt động 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: 

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .

b) Xét dấu của đạo hàm .

c) Phương trình  có bao nhiêu nghiệm?

Luyện tập 3 trang 7 Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số  nghịch biến trên nửa khoảng và đồng biến trên nửa khoảng .

Luyện tập 4 trang 8 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Luyện tập 5 trang 11 Toán 12 Tập 1: Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) ;

b) .

Hoạt động 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số  ở Hình 3, hãy so sánh:

a) f(– 2) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2;

b) f(0) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.

Hoạt động 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) x₀ có là điểm cực đại của hàm số f(x) hay không;

b) x₁ có là điểm cực tiểu của hàm số h(x) hay không.