Giải bài tập Toán 12 Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. | Cánh Diều

Bài 1 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và . Tọa độ của vectơ là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài 4 trang 80 Toán 12 Tập 1:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=(2;-2;1),\overrightarrow{b}=(2;1;3)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Bài 2 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=(0;1;1) và \overrightarrow{b}=(-1;1;0)$  . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}$ bằng:

A. 60°.

B. 120°.

C. 150°.

D. 30°.

Bài 3 trang 80 Toán 12 Tập 1:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=(-1;2;3), \overrightarrow{b}=(3;1;-2), \overrightarrow{c}=(4;2;-3)$

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{v}$ sao cho $\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$.

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=(3;2;-1), \overrightarrow{b}=(-2;1;2)$. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho .

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác  vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) và

b)  và

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng  trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Câu hỏi khởi động trang 74 Toán 12 Tập 1: Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là   (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực  tác dụng lên giá đỡ?

Luyện tập 1 trang 75 Toán 12 Tập 1: 

a) Cho . Tìm tọa độ của vectơ

b) Cho ba điểm A(– 1; – 3; – 2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ  và .

a) Biểu diễn các vectơ theo ba vectơ .

b) Biểu diễn các vectơ (m ∈ ℝ) theo ba vectơ .

c) Tìm tọa độ các vectơ (m ∈ ℝ)

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

- Biểu diễn vectơ theo hai vectơ  và .

- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

- Biểu diễn vectơ theo ba vectơ .

- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ .

Hãy biểu diễn các vectơ theo ba vectơ đơn vị và tính tích vô hướng .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ  và .

b) Cho hai vectơ  và không cùng phương.

Xét vectơ .

- Tính .

- Vectơ có vuông góc với cả hai vectơ  và hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ = (1; 0; -3) và = (0; 0; 3). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ  khác vuông góc với cả hai vectơ  và .