Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Phương trình mặt phẳng | Cánh Diều

Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:

A.

B.

C.

D.

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến.

Bài 4 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận hai vectơ  làm cặp vectơ chỉ phương.

Bài 5 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm và vuông góc với trục Ox;

b) (P) đi qua điểm và song song với mặt phẳng (Ozx);

c) (P) đi qua điểm và song song với mặt phẳng .

Bài 6 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm

Bài 7 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm .

Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng ,

a) Chứng minh rằng .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P_1­), (P₂).

Bài 9 trang 64 Toán 12 Tập 2:

a) Cho hai mặt phẳng . Chứng minh rằng .

b) Cho mặt phẳng và điểm . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Bài 10 trang 64 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm (Hình 19).

a) Tìm toạ độ điểm C.

b) Lập phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Bài 11 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết với k>0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.

a) Tìm tọa độ của điểm B.

b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).

c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).

Bài 12 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm .

a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1).

Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là gì?

Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (Hình 2). Giá của vectơ có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:

a) Mặt phẳng (Oyz);

b) Mặt phẳng (Ozx).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Cho cặp vectơ chỉ phương = (1; 0; 1), = (2; 1; 0) của mặt phẳng (P).

a) Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ  và (Hình 6).

b) Vectơ có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không?

Trong Ví dụ 3, vectơ = (1; -2; 1) có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến là = (1; 2; 3). Giả sử M(x; y; z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7).

a) Tính tích vô hướng theo x, y, z.

b) Tọa độ (x; y; z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?

Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau:

a) (P): x – y = 0;

b) (Q): z – 2 = 0.

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) có = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).

a) Tính tích vô hướng .

b) Hãy biểu diễn theo x₀, y₀, z₀; x, y, z và A, B, C.

Cho hai điểm M(2; 1; 0) và N(0; 3; 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là = (1; 1; 3), = (2; -1; 2) (Hình 10).

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2), biết vectơ pháp tuyến .

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó có cặp vectơ chỉ phương là .

Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).

a) Tìm tọa độ của các vectơ . Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(– 1; 1; 2), biết cặp vectơ chỉ phương là .

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2) và P(– 1; 0; 0).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).

Cho mặt phẳng (P₁): 2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1) và mặt phẳng (P₂): x + y + z – 1 = 0 (2).

a) Gọi = (2; 2; 2), = (1; 1; 1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa  và .

b) Tìm các hệ số tự do D­1, D2 lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh D1 và 2D2.

c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P1), (P2).

Cho m ≠ 0. Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là: x + 2y + z + 1 = 0 và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + z + 5 = 0. Gọi = (1; 2; 1) = (3; -2; 1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂). Hai vectơ có vuông góc với nhau hay không?

Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.

Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M₀(2; 3; 4). Gọi H(x_H; y_H; z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm M₀ trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

a) Tính tọa độ của theo x_H, y_H, z_H.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ = (A; B; C), . Từ đó, hãy suy ra rằng .

c) Tính các độ dài theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng |a|, |b|, |c|.

Cho mặt phẳng (P₁): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng (P₂): 3x – 4y + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng (P₁) // (P₂).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P₁) và (P₂).