Giải bài tập Luyện tập 4 trang 59 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ  $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A\text{'}A}+\overrightarrow{A\text{'}B}+\overrightarrow{A\text{'}D\text{'}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\overrightarrow{A\text{'}C}$.

B. $\overrightarrow{CA\text{'}}$.

C. $\overrightarrow{AC\text{'}}$.

D. $\overrightarrow{C\text{'}A}$.

Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A\text{'}B}.\overrightarrow{D\text{'}C\text{'}}; \overrightarrow{D\text{'}A}.\overrightarrow{BC}$

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A\text{'}D},\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}\right); \left(\overrightarrow{AD\text{'}},\overrightarrow{BD}\right)$

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng 

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Câu hỏi khởi động trang 56 Toán 12 Tập 1: Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

Hoạt động 1 trang 56 Toán 12 Tập 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Luyện tập 1 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

a) Bằng vectơ ;

b) Là vectơ đối của vectơ .

Hoạt động 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ

b) Tổng của hai vectơ và bằng vectơ nào trong Hình 4?

Luyện tập 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Hoạt động 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6).

Tìm liên hệ giữa và ; và .

Từ đó, hãy suy ra rằng

Luyện tập 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Hoạt động 4 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ  Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ

b) Tổng của hai vectơ  và bằng vectơ nào trong Hình 7?

Hoạt động 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Nêu định nghĩa tích của một số thực k ≠ 0 và vectơ trong mặt phẳng.

Luyện tập 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a) ;

b)

Hoạt động 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ khác  Lấy một điểm O tùy ý.

a) Vẽ hai vectơ

b) Khi đó, hai vectơ có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng (P).

Luyện tập 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ

Hoạt động 7 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).

a) Tính góc giữa hai vectơ

b) Tính

Luyện tập 7 trang 62 Toán 12 Tập 1:  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính