Giải bài tập Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2. Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc. Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Đáp án và cách giải chi tiết:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = $\frac{1}{2} AB = \frac{a}{2} (1)$

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = $\frac{1}{2} CD = \frac{a}{2} (2)$

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

$PN = \sqrt{{CP}^{2} - {CN}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

${MP}^{2} + {MN}^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}; {PN}^{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$

⇒ MP² + MN² = PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\hat{NMP} = 90 °$

Vậy AB ⊥CD.

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $a \sqrt{3}$ $a \sqrt{3}$ , SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Xem cách giải chi tiết

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\hat{BSA} = \hat{CSA} = 60 °, \hat{BSC} = 90 ° .$ $\hat{BSA} = \hat{CSA} = 60 °; \hat{BSC} = 90 °$ . Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xem cách giải chi tiết

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = $a \sqrt{3}$ $a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa AB và CD.

Xem cách giải chi tiết

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Xem cách giải chi tiết

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD.

Xem cách giải chi tiết

Hoạt động khởi động trang 54 Toán 11 Tập 2

Ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng. Có góc giữa hai đường thẳng chéo nhau không? Nếu có, làm thế nào để xác định?

Xem cách giải chi tiết

Hoạt động khám phá 1 trang 54 Toán 11 Tập 2

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian. Qua một điểm M tuỳ ý vẽ a // a′ và vẽ b // b′. Khi thay đổi vị trí của điểm M, có nhận xét gì về góc giữa a′ và b′?

Xem cách giải chi tiết

Thực hành 1 trang 55 Toán 11 Tập 2

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD ′ ;

b) MN và CD ′ ;

c) EF và CC ′ .

Xem cách giải chi tiết