Giải bài tập Hoạt động 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 2 | Toán 10 - Cánh diều

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{64}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{64}=1$

b) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{64}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{64}=1$

c) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{64}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{25}=1$

d) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{25}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{64}=1$

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A­₁A₂ = 768 800 km và B₁B­₂ = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Bài 5 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$

b) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$

c) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{64}=1$

d) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{64}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$

Bài 10 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là F(6; 0).

Bài 11 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic (Hình 48). Từ “đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.

Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F₁, F₂ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2F₁F₂. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF₁ + MF₂?

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c (với a > c > 0).

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F­₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) A₁(–a; 0) và A_2­(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) B₁(0; –b) và B₂(0; b), ở đó , đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0; 3) và .

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F₁, F₂ trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài l thỏa mãn AB – F₁F₂ < l < AB. Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào F₂. Đặt thước sao cho điểm B trùng với F₁ và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc AMF₂.

Cho thước quay quanh điểm B (trùng F₁), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF₁ – MF₂?

Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: 4x² – 9y² = 1.

Lấy đường thẳng ∆ và một điểm F không thuộc ∆. Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên ∆, lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF.

Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?

Cho parabol (P) với tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Cũng như elip, để lập phương trình của (P), trước tiên ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.

Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).

Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:

a) ;

b) x – y² = 0.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Cho Elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{{\mathrm{x}}^2}{49}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{25}=1$. Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tọa độ hai giao điểm của (E) với Ox và Oy lần lượt là A₁(– 5; 0) và

Bài 6 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{16}=1$

b) $\frac{{\mathrm{x}}^2}{36}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{25}=1$

Bài 7 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết  nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.

Bài 8 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) y² = – 2x;

b) y² = 2x;

c) x² = – 2y;

d)

Bài 9 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\mathrm{y}}^2=\frac{5}{2}\mathrm{x}$

b)