Giải bài tập Bài 7 trang 117 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 7 trang 117 Toán 11 Tập 2. Bài tập cuối chương 8. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB (Hình 100).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B’C’.
b) Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B, CC’, M].
d) Chứng minh rằng CC’ // (ABB’A’). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng (ABB’A’).
e) Chứng minh rằng CM ⊥ (ABB’A’). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’M.
g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ và thể tích khối chóp A’.MBC.
Đáp án và cách giải chi tiết:
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a nên ta có:
⦁ Các mặt bên A’C’CA, B’C’CB, A’B’BA đều là hình vuông cạnh a.
⦁ Hai mặt đáy ABC và A’B’C’ là hai tam giác đều cạnh a và hai mặt phẳng chứa hai mặt đáy song song với nhau.
⦁ Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ đều vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và (A’B’C’).
a) Do B’C’CB là hình vuông nên BC // B’C’.
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và B’C’ bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BC và bằng
Mặt khác ABC là tam giác đều nên
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và B’C’ bằng 60°.
b) Vì AA’ ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của A’B trên (ABC).
Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng
Do A’B’BA là hình vuông nên đường chéo BA’ là phân giác của góc ABB’ nên
Vậy góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.
c) Do CC’ ⊥ (ABC) và BC, CM đều nằm trên (ABC).
Suy ra CC’ ⊥ BC, CC’ ⊥ CM.
Mà BC ∩ CM = C ∈ CC’.
Do đó là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, CC’, M].
Xét tam giác ABC đều có: CM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC) nên đồng thời là đường phân giác của
Suy ra
Vậy số đo của góc nhị diện [B, CC, M] bằng 30°.
d) Do B’C’CB là hình vuông nên CC’ // BB’.
Mà BB’ ⊂ (ABB’A’) nên CC’ // (ABB’A’).
Khi đó d(CC’, (ABB’A’)) = d(C, (ABB’A’)).
Do AA’ ⊥ (ABC) và CM ⊂ (ABC) nên AA’ ⊥ CM.
Vì tam giác ABC đều có CM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác hay CM ⊥ AB.
Ta có: CM ⊥ AA’, CM ⊥ AB và AA’ ∩ AB = A trong (ABB’A’).
Suy ra CM ⊥ (ABB’A’).
Khi đó d(C, (ABB’A’)) = CM.
Do M là trung điểm của AB nên
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CBM vuông tại M (do CM ⊥ AB) có:
BC2 = BM2 + CM2
Suy ra
Do đó
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng (ABB’A’) bằng
e) Theo câu d ta có CM ⊥ (ABB’A’).
Mà A’M ⊂ (ABB’A’) nên CM ⊥ A’M.
Do CC’ ⊥ (ABC) và CM ⊂ (ABC) nên CC’ ⊥ CM.
Ta thấy: CM ⊥ A’M, CM ⊥ CC’.
Suy ra đoạn thẳng CM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng CC’ và A’M.
Khi đó
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’M bằng
g) ⦁ Diện tích tam giác ABC đều cạnh a có đường cao là:
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao AA’ = a và diện tích đáy là:
⦁ Vì A là hình chiếu của A’ trên (ABC) và (MBC) ≡ (ABC).
Suy ra A cũng là hình chiếu của A’ trên (MBC).
Nên ta có đoạn thẳng AA’ cũng là chiều cao của khối chóp A’.MBC.
Diện tích tam giác MBC vuông tại M là:
Thể tích của khối chóp tam giác A’.MBC có chiều cao AA’ = a và diện tích đáy là:
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 1 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ có cạnh bằng a.
a) Góc giữa hai đường thẳng MN và M’P’ bằng:
A. 30°;
B. 45°;
C. 60°;
D. 90°.
b) Gọi α là số đo góc giữa đường thẳng M’P và mặt phẳng (MNPQ). Giá trị tanα bằng:
A. 1;
B. 2;
C. ;
D. .
c) Số đo của góc nhị diện [N, MM’, P] bằng:
A. 30°;
B. 45°;
C. 60°;
D. 90°.
d) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQ’N’) bằng:
A. a;
B. ;
C.
D. .
Bài 2 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho hình hộp chữ nhật MNPQ.M’N’P’Q’ có MN = 2a, MQ = 3a, MM’ = 4a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và M’N’ bằng:
A. 2a;
B. 3a;
C. 4a;
D. 5a.
Bài 3 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a2 và chiều cao bằng 3a. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng:
A. a3;
B. 3a3;
C. ;
D. 9a3.
Bài 4 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho khối chóp có diện tích đáy là a2 và chiều cao là 3a. Thể tích của khối chóp bằng:
A. a3;
B. 3a3;
C. ;
D. 9a3.
Bài 5 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho tứ diện OABC thỏa mãn OA = a, OB = b, OC = c, . Thể tích của khối tứ diện OABC bằng:
A. abc;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 6 trang 116 Toán 11 Tập 2
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AC ⊥ BC, , AC = a (Hình 99).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].
d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
g) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 8 trang 117 Toán 11 Tập 2
Đền Kukulcan (Hình 101) là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza, Mexico, được người Maya xây vào khoảng từ thế kỉ IX đến thế kỉ XII. Phần thân của đền, không bao gồm ngôi đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài đáy dưới là 55,3 m, chiều cao là 24 m, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là khoảng 47°.
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)
Tính thể tích phần thân của ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).