Trang Chủ
SGK Toán 12 - Kết nối tri thức
Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Giải bài tập Toán 12 Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian | Kết Nối Tri Thức

Hướng dẫn giải Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian. Vectơ và các phép toán trong không gian. Toạ độ của vectơ trong không gian. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

Giải bài tập Bài 6. Vectơ trong không gian.

Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, cho ba vectơ a, b, c phân biệt và đều khác vectơ 0; những mệnh đề nào sau đây là đúng. Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh các hệ thức sau. Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'; hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ a, b,c. Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA+SC = SB+SD. Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn AI=3IG, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau; nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó. Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, cho hai vectơ a, b cùng có độ dài bằng 1; biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°. Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các đẳng thức sau. Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1

Mở đầu trang 45 Toán 12 Tập 1

Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Mở đầu trang 45 Toán 12 Tập 1

HĐ1 trang 46 Toán 12 Tập 1

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. HĐ1 trang 46 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 46 Toán 12 Tập 1

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự. Câu hỏi trang 46 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Tập 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ AC, AD, AD'. Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Tập 1

HĐ2 trang 47 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7). HĐ2 trang 47 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 47 Toán 12 Tập 1

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không? Câu hỏi trang 47 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 2 trang 48 Toán 12 Tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Luyện tập 2 trang 48 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 1 trang 48 Toán 12 Tập 1

Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lần tầng 29. Vận dụng 1 trang 48 Toán 12 Tập 1

HĐ3 trang 49 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ. HĐ3 trang 49 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Tập 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ AC + C'D'. Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Tập 1

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng biểu thức sau là đúng. Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Tập 1

HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14). HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 50 Toán 12 Tập 1

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B. Câu hỏi trang 50 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh biểu thức sau. Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Tập 1

HĐ5 trang 51 Toán 12 Tập 1

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó? HĐ5 trang 51 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 6 trang 52 Toán 12 Tập 1

Trong Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (H.2.16). Chứng minh rằng: Luyện tập 6 trang 52 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 2 trang 52 Toán 12 Tập 1

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

HĐ6 trang 52 Toán 12 Tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17). HĐ6 trang 52 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 53 Toán 12 Tập 1

Hai vectơ 1a và a có bằng nhau không? Hai vectơ (-1)a và a có bằng nhau không? Câu hỏi trang 53 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 7 trang 53 Toán 12 Tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA, SB sao cho. Luyện tập 7 trang 53 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Tập 1

Trong ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). Gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho. Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Tập 1

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Tập 1

HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, cho hai vectơ a và b. HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 55 Toán 12 Tập 1

Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác vecto 0) góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian. Câu hỏi trang 55 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 9 trang 56 Toán 12 Tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' (H.2.25). Tính các góc. Luyện tập 9 trang 56 Toán 12 Tập 1

HĐ8 trang 56 Toán 12 Tập 1

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. HĐ8 trang 56 Toán 12 Tập 1

luyen-tap-10-trang-57-toan-12-tap-1-4418

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1

Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng. Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1

luyen-tap-11-trang-57-toan-12-tap-1-4419

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng. Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1

Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức. Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1

Giải bài tập Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian.

Bài 2.13 trang 64 Toán 12 Tập 1

rong không gian Oxyz, cho ba vectơ a, b, c đều khác vectơ 0, những mệnh đề nào sau đây là đúng. Bài 2.13 trang 64 Toán 12 Tập 1

Bài 2.14 trang 64 Toán 12 Tập 1

Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz). Bài 2.14 trang 64 Toán 12 Tập 1

Bài 2.15 trang 65 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ AB. Bài 2.15 trang 65 Toán 12 Tập 1

Bài 2.16 trang 65 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau. Bài 2.16 trang 65 Toán 12 Tập 1

Bài 2.17 trang 65 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3); xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật. Bài 2.17 trang 65 Toán 12 Tập 1

Bài 2.18 trang 65 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có A(1; 1; −1), B(0; 3; 0), C'(2; −3; 6). Bài 2.18 trang 65 Toán 12 Tập 1

Bài 2.19 trang 65 Toán 12 Tập 1

Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó. Bài 2.19 trang 65 Toán 12 Tập 1

Mở đầu trang 60 Toán 12 Tập 1

Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian? Mở đầu trang 60 Toán 12 Tập 1

HĐ1 trang 60 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. HĐ1 trang 60 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 61 Toán 12 Tập 1

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc tọa độ và các mặt phẳng tọa độ trong hình ảnh đó. Câu hỏi trang 61 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 1 trang 61 Toán 12 Tập 1

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C. Luyện tập 1 trang 61 Toán 12 Tập 1

HĐ2 trang 61 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37). HĐ2 trang 61 Toán 12 Tập 1

Câu hỏi trang 61 Toán 12 Tập 1

Hãy tìm tọa độ của gốc O. Câu hỏi trang 61 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 2 trang 62 Toán 12 Tập 1

Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39. Luyện tập 2 trang 62 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 3 trang 62 Toán 12 Tập 1

Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C'. Luyện tập 3 trang 62 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 1 trang 62 Toán 12 Tập 1

Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó. Vận dụng 1 trang 62 Toán 12 Tập 1

HĐ3 trang 62 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tùy ý (H.2.41). HĐ3 trang 62 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 4 trang 63 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ. Luyện tập 4 trang 63 Toán 12 Tập 1

HĐ4 trang 63 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x; y; z) và N(x'; y'; z'). HĐ4 trang 63 Toán 12 Tập 1

Luyện tập 5 trang 64 Toán 12 Tập 1

Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D' sao cho ABCD.A'B'C'D' là hình hộp. Luyện tập 5 trang 64 Toán 12 Tập 1

Vận dụng 2 trang 64 Toán 12 Tập 1

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục

Giải bài tập Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

Bài 2.20 trang 72 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a, b, c; tìm tọa độ của các vectơ, tính các tích vô hướng. Bài 2.20 trang 72 Toán 12 Tập 1

Bài 2.21 trang 72 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1). Bài 2.21 trang 72 Toán 12 Tập 1

Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Tập 1

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4). Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Tập 1

Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Tập 1

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Tập 1

Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Tập 1

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây. Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Tập 1

Mở đầu trang 67 Toán 12 Tập 1

Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. ới hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có tọa độ lần lượt là (240; 450; 0)