Giải bài tập Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1. Bài 1: Giới hạn của dãy số. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q = 12.

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Ta có: |q| = 12 < 1.

b) Ta có: (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là: 

Sn1.1-12n1-12=21-12n

limSn = lim21-12n=lim2.lim1-12n = 2.

Nguồn: loigiaitoan.com


Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1

Cho hai dãy số (un), (vn) với un=3+1n, vn=5-2n2. Tính các giới hạn sau:

a) lim un, lim vn;

b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), limunvn

Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau:

a) lim5n+12n

b) lim6n2+8n+15n2+3

c) limn2+5n+36n+2

d) lim2-13n

e) lim3n+2n4.3n

g) lim2+1n3n

Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u), với u1=23; q=-14.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).

b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10– 6 g.

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB2.

C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB4; ...

Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính AB2n; ... (Hình 4).

Gọi Plà độ dài của C, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.

a) Tính pn, Sn.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (un), với u­n1n trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1

Chứng minh rằng:

a) lim 0 = 0;

b) lim1n = 0.

Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1

Cho dãy số (un), với un = 2 + 1n. Tính limn+un-2.

Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1

Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8 + 1n; vn = 4 - 2n.

a) Tính limun, limvn.

b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.

c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.

Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau:

a) lim8n2+nn2;

b) lim4+n2n.

Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1

Quan sát dãy số (un) với u­n = n2 và cho biết giá trị của nn có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Giải bài tập Toán 11 - Cánh diều

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Hoạt động thực hành và trải nghiệm - Tập 1

Chủ đề 1: Một số hình thức đầu tư tài chính

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4

Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất

Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài tập cuối chương 5

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Chương 7: Đạo hàm

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8

Hoạt động thực hành và trải nghiệm - Tập 2

Chủ đề 2: Tính thể tích một số hình khối trong thực tiễn