Giải bài tập Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1. Bài 1: Giới hạn của dãy số. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10– 6 g.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Ta có: u1 = 1;
Suy ra (un) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và q = có số hạng tổng quát là:
b) Ta có:
c) Đổi
Để chất phóng xạ bé hơn 10-6 (g) thì
Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1
Cho hai dãy số (un), (vn) với . Tính các giới hạn sau:
a) lim un, lim vn;
b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), lim
Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1
Tính các giới hạn sau:
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
e) lim
g) lim
Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với .
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1
Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.
C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính .
C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính
Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (Hình 4).
Gọi Pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a) Tính pn, Sn.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1
Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.
Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?
Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (un), với un = trên hệ trục tọa độ.
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1
Chứng minh rằng:
a) lim 0 = 0;
b) lim = 0.
Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1
Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8 + ; vn = 4 - .
a) Tính limun, limvn.
b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.
c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.
Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1
Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q = .
a) Hãy so sánh |q| với 1.
b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.
Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1
Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.
Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1
Quan sát dãy số (un) với un = n2 và cho biết giá trị của nn có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.