Giải bài tập Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1. Bài 2: Giới hạn của hàm số. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Cho hàm số f(x) = x2 – 1, g(x) = x + 1.

a) limx1fx và limx1gx.

b) limx1fx+gx và so sánh với limx1fx+limx1gx.

c) limx1fx-gx và so sánh với limx1fx-limx1gx.

d) limx1fx.gx và so sánh với limx1fx.limx1gx.

e) limx1fxgx và so sánh với limx1fxlimx1gx.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:

lim f(xn) = lim(xn2 - 1) = lim xn2 - 1 = 1 - 1 = 0.

⇒ limf(x) = 0.

limg(xn) = lim(xn + 1) = limxn+1 = 2

⇒ lim g(x) = 2.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x2 – 1 + x + 1 = x2 + x

(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:

lim (f(xn) + g(xn)) = lim(xn2 + xn) = limxn2 + lim xn = 12 + 1 = 2

⇒ limx1 (f(x) + g(x)) = 2.

Ta lại có: limx1fx+limx1gx = 0 + 2 = 2.

Vậy limx1 (f(x) + g(x)) = limx1fx+limx1gx = 2.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x2 – 1 – x – 1 = x2 – x – 2

(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:

lim (f(xn) - g(xn)) = lim(xn2 - xn - 2)

= limxn2 + lim xn - 2 = 12 - 1 - 2 = -2

⇒ limx1 (f(x) - g(x)) = -2.

Ta lại có: limx1fx-limx1gx = 0 - 2 = -2.

Vậy limx1 (f(x) - g(x)) = limx1fx-limx1gx = -2.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x2 – 1)(x + 1) = x3 + x2 – x – 1

(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:

lim (f(xn).g(xn)) = lim(xn3+xn2 - xn - 1) 

= limxn3 + limxn2 - lim xn - 1 = 13 + 12 - 1 - 1 = 0

⇒ limx1 (f(x).g(x)) = 0.

Ta lại có: limx1fx.limx1gx = 0.2 = 0.

Vậy limx1 (f(x).g(x)) = limx1fx.limx1gx.

e) Ta có: fxgx=x2-1x+1

(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:

limgxnfxn=limxn2-1xn+1=limxn-1xn+1xn+1 = lim(xn - 1) = 0.

⇒ limx1fxgx = 0.

Ta lại có: lim fxlim gx=02 = 0.

Vậy limx1fxgx=limx1fxlimx1gx.

Nguồn: loigiaitoan.com


Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau:

a) limx+9x+13x-4;

b) limx-7x-112x+3;

c) limx+x2+1x;

d) limx-x2+1x;

e) limx61x-6;

f) limx7+1x-7.

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 1

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được Nt=50tt+4t0 bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính limt+Nt và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 1

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.

a) Tính chi phí trung bình C¯x để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính limx+C¯x và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) limx-3x2

b) limx5x2-25x-5

Bài 2 trang 72 Toán 11 Tập 1

Biết rằng hàm số f(x) thỏa mãn limx2-fx=3  limx2+fx=5. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn limx2fx hay không? Giải thích.

Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau: 

a) limx2x2-4x+3;

b) limx3x2-5x+6x-3;

c) limx1x-1x-1.

Câu hỏi khởi động trang 65 Toán 11 Tập 1

Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc theo biến số t (t là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số v(t) dần tới 0,070 (m/s).

Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số v(t) khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2?

Hoạt động 1 trang 65 Toán 11 Tập 1

Xét hàm số f(x) = 2x.

a) Xét dãy số (xn), với xn = 1 + 1n. Hoàn thành bảng giá trị f(xn) tướng ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2), ..., f(xn), ... lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)). Tìm limf(xn).

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn → 1 ta luôn có f(xn) → 2.

Luyện tập 1 trang 67 Toán 11 Tập 1

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng: limx2 x2=4.

Luyện tập 2 trang 68 Toán 11 Tập 1

Tính:

a) limx2x+1x2+2x;

b) limx2x2+x+3.

Hoạt động 3 trang 68 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số . Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số (un) sao cho un < 0 và lim un = 0. Xác định f(un) và tìm lim f(un).

b) Xét dãy số (vn) sao cho vn > 0 và lim vn = 0. Xác định f(vn) và tìm lim f(vn).

Hoạt động 4 trang 69 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số f(x) = 1x (x ≠ 0) có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

Hoạt động 5 trang 70 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số f(x) = 1x-1 (x ≠ 1) có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.

Hoạt động 6 trang 71 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.

Giải bài tập Toán 11 - Cánh diều

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Hoạt động thực hành và trải nghiệm - Tập 1

Chủ đề 1: Một số hình thức đầu tư tài chính

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4

Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất

Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài tập cuối chương 5

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Chương 7: Đạo hàm

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8

Hoạt động thực hành và trải nghiệm - Tập 2

Chủ đề 2: Tính thể tích một số hình khối trong thực tiễn