Giải bài tập Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1. Bài 2: Giới hạn của hàm số. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Cho hàm số f(x) = x² – 1, g(x) = x + 1.

a) $\lim_{x \to 1} f (x)$ và $\lim_{x \to 1} g (x)$ .

b) $\lim_{x \to 1} (f (x) + g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ .

c) $\lim_{x \to 1} (f (x) - g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ .

d) $\lim_{x \to 1} (f (x) . g (x))$ và so sánh với $\lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ .

e) $\lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)}$ và so sánh với $\frac{\lim_{x \to 1} f (x)}{\lim_{x \to 1} g (x)}$ .

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

lim f(x_n) = lim( $x_{n}^{2}$ - 1) = lim $x_{n}^{2}$ - 1 = 1 - 1 = 0.

⇒ limf(x) = 0.

limg(x_n) = lim(x_n+ 1) = limx_n+1 = 2

⇒ lim g(x) = 2.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x² – 1 + x + 1 = x² + x

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

lim (f(x_n) + g(x_n)) = lim( $x_{n}^{2}$ + x_n) = lim $x_{n}^{2}$ + lim x_n = 1² + 1 = 2

⇒ $\lim_{x \to 1}$ (f(x) + g(x)) = 2.

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0 + 2 = 2.

Vậy $\lim_{x \to 1}$ (f(x) + g(x)) = $\lim_{x \to 1} f (x) + \lim_{x \to 1} g (x)$ = 2.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x² – 1 – x – 1 = x² – x – 2

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

lim (f(x_n) - g(x_n)) = lim( $x_{n}^{2}$ - x_n - 2)

= lim $x_{n}^{2}$ + lim x_n - 2 = 1² - 1 - 2 = -2

⇒ $\lim_{x \to 1}$ (f(x) - g(x)) = -2.

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0 - 2 = -2.

Vậy $\lim_{x \to 1}$ (f(x) - g(x)) = $\lim_{x \to 1} f (x) - \lim_{x \to 1} g (x)$ = -2.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x² – 1)(x + 1) = x³ + x² – x – 1

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

lim (f(x_n).g(x_n)) = lim( $x_{n}^{3} + x_{n}^{2}$ - x_n - 1)

= lim $x_{n}^{3}$ + lim $x_{n}^{2}$ - lim x_n - 1 = 1³+ 1²- 1 - 1 = 0

⇒ $\lim_{x \to 1}$ (f(x).g(x)) = 0.

Ta lại có: $\lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ = 0.2 = 0.

Vậy $\lim_{x \to 1}$ (f(x).g(x)) = $\lim_{x \to 1} f (x) . \lim_{x \to 1} g (x)$ .

e) Ta có: $\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \frac{g (x_{n})}{f (x_{n})} = \lim \frac{x_{n}^{2} - 1}{x_{n} + 1} = \lim \frac{(x_{n} - 1) (x_{n} + 1)}{x_{n} + 1}$ = lim(x_n - 1) = 0.

⇒ $\lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)}$ = 0.

Ta lại có: $\frac{\lim f (x)}{\lim g (x)} = \frac{0}{2}$ = 0.

Vậy $\lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \to 1} f (x)}{\lim_{x \to 1} g (x)}$ .

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{9 x + 1}{3 x - 4}$ ;

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{7 x - 11}{2 x + 3}$ ;

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ ;

d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ ;

e) $\lim_{x \to 6} \frac{1}{x - 6}$ ;

f) $\lim_{x \to 7^{+}} \frac{1}{x - 7}$ .

Xem cách giải chi tiết

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N (t) = \frac{50 t}{t + 4} (t \geq 0)$ bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính $\lim_{t \to + \infty} N (t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Xem cách giải chi tiết

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 1

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.

a) Tính chi phí trung bình $\bar{C} (x)$ để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\lim_{x \to + \infty} \bar{C} (x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Xem cách giải chi tiết

Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 3} x^{2}$

b) $\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 2 trang 72 Toán 11 Tập 1

Biết rằng hàm số f(x) thỏa mãn $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3 và \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 5$ . Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 2} f (x)$ hay không? Giải thích.

Xem cách giải chi tiết

Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2} (x^{2} - 4 x + 3)$ ;

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ ;

c) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ .

Xem cách giải chi tiết

Câu hỏi khởi động trang 65 Toán 11 Tập 1

Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc theo biến số t (t là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số v(t) dần tới 0,070 (m/s).

Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số v(t) khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2?