Giải bài tập Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1. Bài tập cuối chương 3. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Đáp án và cách giải chi tiết:

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

$p_{2} = p_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} . 3 a = \frac{1}{2} p_{1}$

$p_{3} = p_{△ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{1}{4} . 3 a = {(\frac{1}{2})}^{2} p_{1}; . . .$

$p_{△ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . p_{1}; . . .$

Suy ra:

$\lim_{n \to \infty} p_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1} . 3 a) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} 3 a = 0.3 a = 0$

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $S_{1} = S_{△ ABC} = \frac{1}{2} ah; S_{2} = S_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{h}{2} = \frac{1}{4} . (\frac{1}{2} ah) = \frac{1}{4} . S_{1};$

$S_{3} = S_{△ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{1}{2} . \frac{a}{4} . \frac{h}{4} = {(\frac{1}{4})}^{2} . (\frac{1}{2} ah) = {(\frac{1}{4})}^{2} . S_{1}; . . .; S_{△ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . S_{1}; . . .$

Suy ra $\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{4})}^{n - 1} . S_{1}) = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{4})}^{n - 1} . \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} ah) = 0 . \frac{1}{2} ah = 0$

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$p_{n} = p_{1} + p_{2} + . . . + p_{3} + . . . = \frac{3 a}{1 - \frac{1}{2}} = 6 a$

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $S_{1} = \frac{1}{2} ah$ và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$S_{n} = S_{1} + S_{2} + . . . + S_{n} + . . . = \frac{\frac{1}{2} ah}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} ah$

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá: 0

Xếp hạng: 5 / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ là:

A. $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = f (x_{0})$

B. $\lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = f (x_{0})$

C. $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x)$

D. $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = f (x_{0})$

Xem cách giải chi tiết

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1

Cho hàm số f(x) =

a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Xem cách giải chi tiết

Bài 6 trang 80 Toán 11 Tập 1

Bài 6 trang 80 Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi S_n là tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả vật bạn đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS_n.

Xem cách giải chi tiết

Bài 8 trang 80 Toán 11 Tập 1

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính $\frac{1}{d} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{f}$

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = φ(d).

b) Tìm $\lim_{d \to f^{+}} φ (d), \lim_{d \to f^{-}} φ (d)$ $\lim_{d \to f^{+}} φ (d), \lim_{d \to f^{-}} φ (d), \lim_{d \to f} φ (d)$ . Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.