Giải bài tập Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2. Bài 16. Công thức tính góc trong không gian.. SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài:

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Đáp án và cách giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115 \sqrt{2}$

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO = \sqrt{{SB}^{2} - {OB}^{2}} = \sqrt{219^{2} - {(115 \sqrt{2})}^{2}} = 7 \sqrt{439}$

Ta có $A (- 115 \sqrt{2}; 0; 0), B (0; - 115 \sqrt{2}; 0), C (115 \sqrt{2}; 0; 0), S (0; 0; 7 \sqrt{439})$

Ta có $\vec{S A} = (- 115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}), \vec{SB} = (0; - 115 \sqrt{2}; - 7 \sqrt{439}), \vec{SC} = (115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439})$

Ta có $[\vec{SA} . \vec{SB}] = (|\begin{matrix} 0 & - 7 \sqrt{439} \\ - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \\ - 7 \sqrt{439} & 0 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|)$

$= (- 805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)$

$[\vec{SB} . \vec{SC}] = (|\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \\ 0 & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & 0 \\ - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|, |\begin{matrix} 0 & - 115 \sqrt{2} \\ 115 \sqrt{2} & 0 \end{matrix}|)$

$= (805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)$

Mặt phẳng (SAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{SA}, \vec{SB}] = (- 161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\vec{n'} = \frac{1}{5} [\vec{SB}, \vec{SC}] = (161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó $\cos ((SAB), (SBC)) = \frac{|{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}|}{\sqrt{{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} . \sqrt{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}}$

$= \frac{5290^{2}}{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \approx 0, 3807$

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 5.20 trang 53 Toán 12 Tập 2

Bài 5.20 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng $△_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ và $△_{2} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

Xem cách giải chi tiết

Bài 5.21 trang 53 Toán 12 Tập 2

Bài 5.21 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0.

Xem cách giải chi tiết

Bài 5.22 trang 53 Toán 12 Tập 2

Bài 5.22 trang 53 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng $△ : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0.

Xem cách giải chi tiết

Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2

Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Xem cách giải chi tiết

Mở đầu trang 50 Toán 12 Tập 2

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Xem cách giải chi tiết

HĐ1 trang 50 Toán 12 Tập 2

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ và ∆' tương ứng có các vectơ chỉ phương = (a; b; c), = (a'; b'; c') (H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (∆, ∆') và .

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa cos(∆, ∆') và ?

Xem cách giải chi tiết

Luyện tập 1 trang 51 Toán 12 Tập 2

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng .

Xem cách giải chi tiết

HĐ2 trang 51 Toán 12 Tập 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Xét = (a; b; c) là một vectơ chỉ phương của ∆ và = (A; B; C) (với giá ∆') là một vectơ pháp tuyến của (P) (H.5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (∆, (P)) và (∆, ∆').

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sin(∆, ∆') và ?

Xem cách giải chi tiết

Luyện tập 2 trang 51 Toán 12 Tập 2

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P), với ∆: , (P): x – y + z – 1 = 0.

Xem cách giải chi tiết

HĐ3 trang 52 Toán 12 Tập 2

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là = (A; B; C), = (A'; B'; C'). Lấy các đường thẳng ∆, ∆' tương ứng có vectơ chỉ phương (H.5.36).