Giải bài tập Bài 5 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5 trang 106 Toán 11 Tập 2. Bài 5: Khoảng cách. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).
b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Do ABCD là hình vuông nên BC // AD.
Mà AD ⊂ (SAD) nên BC // (SAD).
Khi đó, d(BC, (SAD)) = d(C, (SAD)) = CD = a.
(vì theo câu a, CD ⊥ (SAD))
Vậy khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD) bằng a.
b) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC.
Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.
Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).
Suy ra BD ⊥ (SAC).
Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK ⊥ SC (K ∈ SC).
Do BD ⊥ (SAC) và OK ⊂ (SAC) nên BD ⊥ OK.
Ta có: OK ⊥ SC và OK ⊥ BD.
Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.
Do ABCD là hình vuông nên , do đó tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra
Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.
Suy ra O là trung điểm của AC nên
Do SA ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:
SC2 = SA2 + AC2.
Do đó
Xét ∆SAC và ∆OKC có:
là góc chung
Do đó ∆SAC ᔕ ∆OKC (g.g).
Suy ra (tỉ số đồng dạng)
Nên
Khi đó
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 1 trang 106 Toán 11 Tập 2
Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?
Bài 2 trang 106 Toán 11 Tập 2
Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c, . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD (Hình 77).
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 3 trang 106 Toán 11 Tập 2
Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:
a) Chứng minh rằng MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.
b) Chứng minh rằng MP // (BCD). Tính khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD).
c) Chứng minh rằng (MNP) // (BCD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).
Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).
a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
