Giải bài tập Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1. Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Tính các giá trị lượng giác của góc $α$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{π}{2} < α < π$ .

b) $\cos α = - \frac{2}{3}$ với $- π < α < 0$

c) $\tan α = 3$ với $- π < α < 0$ .

d) $c o t α = - 2$ với $0 < α < π$ .

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ . Do $\frac{π}{2} < α < π$ nên $cosα < 0$ .

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2} + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \cos^{2} α = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \Rightarrow \cos α = - \frac{1}{4}$ .

• $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{- \frac{1}{4}} = - \sqrt{15}$ .

• $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{- \sqrt{15}} = - \frac{\sqrt{15}}{15}$ .

b) $\cos α = - \frac{2}{3}$ . Do $- π < α < 0$ nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

$\sin^{2} α + {(- \frac{2}{3})}^{2} = 1 \Rightarrow \sin^{2} α = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

• $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{- \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

• $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

c) Do $- π < α < 0$ nên sinα < 0 , cosα < 0 khi $- π < α < - \frac{π}{2}$ và sinα < 0 , cosα > 0 khi $- \frac{π}{2} < α < 0$ .

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} > 0$ và cosα < 0.

Ta có $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{3}$ .

Áp dụng công thức $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Rightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α} = \frac{1}{10} \Rightarrow \cos α = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có: $\sin^{2} α + {(- \frac{1}{\sqrt{10}})}^{2} = 1 \Rightarrow \sin^{2} α = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \Rightarrow \sin α = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

d) cotα = ‒2 với $0 < α < π$

Ta có $\tan α = \frac{1}{\cot α} = - \frac{1}{2}$ .

Do $0 < α < π$ nên sinα > 0.

Mà $\cot α < 0$ do đó $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} > 0$

Áp dụng công thức $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} \Rightarrow \sin^{2} α = \frac{1}{1 + \cot^{2} α} = \frac{1}{1 + {(- 2)}^{2}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin α = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Ta có $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} \Rightarrow \cos α = \cot α . \sin α = (- 2) . \frac{1}{\sqrt{5}} = - \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

(Có thể sử dụng sin²α + cos²α = 1 như câu c.)

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác

(OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng $π$ ; $\frac{π}{2}$ ; $\frac{7 π}{6}$ ; $- \frac{π}{6}$ .

Xem cách giải chi tiết

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5 π}{3}$ ; $\frac{19 π}{2}$ ; $\frac{- 159 π}{4}$ .

Xem cách giải chi tiết

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$

b) $\frac{π}{3} + (2 k + 1) π (k \in ℤ)$

c) $k π (k \in ℤ)$

d) $\frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

Xem cách giải chi tiết

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1

Cho α + β = π. Tính:

a) A = sin²α + cos²β;

b) B = (sinα + cosβ)² + (cosα + sinβ)².

Xem cách giải chi tiết

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 giờ.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 giờ; 3 giờ; 5 giờ.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem cách giải chi tiết

Câu hỏi khởi động trang 5 Toán 11 Tập 1

Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3 \frac{1}{4}$ vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.