Giải bài tập Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2. Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên SA = SB = SC = SD = a.
Vì ABCD là hình vuông nên AC = BC và
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Mà AC = BD nên BD2 = AC2 = 2a2.
⦁ Xét ∆ASC có: SA2 + SC2 = a2 + a2 = 2a2 = AC2.
Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ASC vuông tại S.
Mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.
⦁ Xét tam giác BSD có: SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2 = BD2.
Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác BSD vuông tại S.
Mà SB = SD nên tam giác BSD vuông cân tại S.
b) Do ABCD là hình vuông và O = AC ∩ BD nên O là trung điểm của AC và BD.
Xét ∆ASC vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của AC) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ AC.
Xét ∆BSD vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của BD) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ BD.
Ta có: SO ⊥ AC, SO ⊥ BD và AC ∩ BD = O trong (ABCD).
Do đó SO ⊥ (ABCD).
c) Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc
Lại có tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S nên
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 1 trang 115 Toán 11 Tập 2
Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?
Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.
Bài 4 trang 115 Toán 11 Tập 2
Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là 15 cm, 15 cm và 6 cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.
Bài 5 trang 115 Toán 11 Tập 2
Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3 g/cm3.
Bài 6 trang 115 Toán 11 Tập 2
Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a.
Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
