Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 | Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm A(1; 1; −2) và B(2; 2; 1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ là

A. (3; 3; −1).

B. (−1; −1; −3).

C. (3; 1; 1).

D. (1; 1; 3).

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (1; 2; −3) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (−2; −4; 6). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hai điểm A(2; 0; 1) và B(0; 5; −1). Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ bằng

A. −2.

B. −1.

C. 1.

D. 2.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{a} }=2\overrightarrow{\mathrm{i} }+\overrightarrow{\mathrm{k} }-3\overrightarrow{\mathrm{j} }$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ là

A. (2; 1; −3).

B. (2; −3; 1).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −3; 2).

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (−1; 1; 0), $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (1; 1; 0) và $\overrightarrow{\mathrm{c} }$ = (1; 1; 1). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (−3; 4; 0) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (5; 0; 12). Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ bằng

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{i} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{u} }=\left(-\sqrt{3}; 0; 1\right)$ bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 120°.

D. 150°.

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (m; 2; 3) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (1; n; 2) cùng phương khi

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (2; 1; −2) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (0; 2m; −4). Giá trị của tham số m để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ vuông góc với nhau là

A. m = −4.

B. m = −2.

C. m = 2.

D. m = 4.

Cho hai điểm A(2; 3; −1) và B(0; −1; 1). Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (1; 1; 0).

B. (2; 2; 0).

C. (−2; −4; 2).

D. (−1; −2; 1).

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (1; 1; −2), $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (−3; 0; −1) và điểm A(0; 2; 1). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\overrightarrow{\mathrm{a} }-\overrightarrow{\mathrm{b} }$ là

A. M(−5; 1; 2).

B. M(3; −2; 1).

C. M(1; 4; −2).

D. M(5; 4; −2).

Cho điểm A(3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc với điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M(3; 0; 0).

B. N(0; −1; 1).

C. P(0; −1; 0).

D. Q(0; 0; 1).

Cho điểm M(−3; 2; −1) và điểm M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy). Tọa độ điểm M' là

A. (−3; 2; 1).

B. (3; 2; 1).

C. (3; 2; −1).

D. (3; −2; −1).

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (2; 1; 0).

B. (0; 0; −1).

C. (2; 0; 0).

D. (0; 1; 0).

Cho điểm A(−3; 1; 2) và điểm A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy. Tọa độ của điểm A' là

A. (3; −1; −2).

B. (3; −1; 2).

C. (3; 1; −2).

D. (−3; −1; 2).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2.

Cho hai điểm A(3; −2; 4), B(5; 0; 7).

a) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=3\overrightarrow{\mathrm{i} }-2\overrightarrow{\mathrm{j} }+4\overrightarrow{\mathrm{k} }$.

b) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (8; −2; 11).

c) Điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) 2$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ = (10; 0; 14).

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (5; 0; −2).

a) $\left|\overrightarrow{\mathrm{a} }\right|=\sqrt{30}$.

b) $\overrightarrow{\mathrm{a} }, \overrightarrow{\mathrm{b} }$ cùng phương.

c) $\overrightarrow{\mathrm{a} }+\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (7; 1; 3).

d) $\overrightarrow{\mathrm{a} }.\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = 1.

Cho một lực $\overrightarrow{\mathrm{F} }$ = (4; 6; 9) (đơn vị: N) thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{\mathrm{d} }$  = (20; 50; 10) (đơn vị: m).

a) Cường độ của lực $\overrightarrow{\mathrm{F} }$ là $\sqrt{133}$N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là $10\sqrt{30}$m.

c) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{\mathrm{F} }$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{\mathrm{d} }$ là $10\sqrt{3990}$J.

d) $\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{F} }, \overrightarrow{\mathrm{d} }\right)=\frac{470}{10\sqrt{3990}}$.

Hai vật đang chuyển động với vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (8; 4; 20).

a) Hai vật đang chuyển động cùng hướng.

b) $\overrightarrow{\mathrm{a} }.\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = 120.

c) cos$\left(\overrightarrow{\mathrm{a} }, \overrightarrow{\mathrm{b} }\right)$ = 1.

d) cos$\left(\overrightarrow{\mathrm{a} }, \overrightarrow{\mathrm{b} }\right)$ = 0.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (0; 1; 3) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (−2; 3; 1). Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{x} }$ thỏa mãn $2\overrightarrow{\mathrm{x} }+3\overrightarrow{\mathrm{a} }=4\overrightarrow{\mathrm{b} }$.

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (1; 0; −2), $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (−2; 1; 3) và $\overrightarrow{\mathrm{c} }$ = (−4; 3; 5). Tìm hai số thực m, n sao cho $\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{a} }+\mathrm{n}\overrightarrow{\mathrm{b} }=\overrightarrow{\mathrm{c} }$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ = (2; m + 1; −1) và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ = (1; −3; 2). Tìm giá trị nguyên của m để $\left|\overrightarrow{\mathrm{b} }\left(2\overrightarrow{\mathrm{a} }-\overrightarrow{\mathrm{b} }\right)\right|=4$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u} }$ = (m; −2; m + 1) và $\overrightarrow{\mathrm{v} }$ = (0; m – 2; 1). Tìm giá trị của m, để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{v} }$ cùng phương.

Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(−10; 5; 3) và M(2m – 1; 2; n + 2). Tìm m, n để A, B, M thẳng hàng.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{\mathrm{a} }\right|=2\sqrt{3}; \left|\overrightarrow{\mathrm{b} }\right|=3 \mathrm{và} \left(\overrightarrow{\mathrm{a} }, \overrightarrow{\mathrm{b} }\right)$ = 30°. Tính độ dài của vectơ $3\overrightarrow{\mathrm{a} }-2\overrightarrow{\mathrm{b} }$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u} }$ = (2; −1; 2), $\overrightarrow{\mathrm{v} }$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{\mathrm{v} }\right|=1 \mathrm{và} \left|\overrightarrow{\mathrm{u} }-\overrightarrow{\mathrm{v} }\right|=4$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u} }+\overrightarrow{\mathrm{v} }$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u} }, \overrightarrow{\mathrm{v} }$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{\mathrm{u} }\right|$ = 2, $\left|\overrightarrow{\mathrm{v} }\right|$ = 1 và $\left(\overrightarrow{\mathrm{u} }, \overrightarrow{\mathrm{v} }\right)$ = 60°. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{u} }-\overrightarrow{\mathrm{v} }$.

Cho ba điểm A(−3; 4; 2), B(−5; 6; 2) và C(−4; 7; −1). Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Cho các điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{i} }+\overrightarrow{\mathrm{j} }+\overrightarrow{\mathrm{k} }; \overrightarrow{\mathrm{OB}}=5\overrightarrow{\mathrm{i} }+\overrightarrow{\mathrm{j} }-\overrightarrow{\mathrm{k} }; \overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{i} }+8\overrightarrow{\mathrm{j} }+3\overrightarrow{\mathrm{k} }$. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho tam giác ABC có A(0; 0; 1), B(−1; −2; 0), C(2; 1; −1). Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.

Cho sáu điểm A(1; 2; 3), B(2; −1; 1), C(3; 3; −3) và A', B', C' thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C'.

Cho tam giác ABC có đỉnh C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC, biết điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) và điểm B thuộc Oz.

Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) và C(−10; 5; 30). Đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt BC tại D. Tính BD.

Cho ba điểm A(1; 1;1 ), B(−1; 1; 0) và C(3; 1; −1). Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B, C. Tính tổng a + b + c.

Trong không gian Oxyz được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc $\overrightarrow{\mathrm{u} }$ = (90; −80; −120), $\overrightarrow{\mathrm{v} }$ = (60; −50; −60).

Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Để nghiên cứu mô hình mạng tinh thể than chì, một nhà hóa học đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz như Hình 2 (đơn vị: nm). Cho biết ABCDEF có dạng lục giác đều.

Tìm tọa độ các điểm A, B, C, E, A'.

Một robot cắt dây đã di chuyển một lực $\overrightarrow{\mathrm{P} }$ = (0; 0; −150) (đơn vị: N) theo độ dời $\overrightarrow{\mathrm{d} }$ = (0; −8; −10) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{\mathrm{P} }$ khi thực hiện độ dời nói trên.