Giải bài tập Luyện tập 1 trang 39 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 12^x;

b) y = log₅(2x – 3);

c) $\mathrm{y}={\log }_{\frac{1}{5}}\left(-{\mathrm{x}}^2+4\right)$

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $\mathrm{y}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$

b) $\mathrm{y}={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^{\mathrm{x}}$

c) $\mathrm{y}={\log }_{\mathrm{\pi }}\mathrm{x}$

d) $\mathrm{y}={\log }_{\frac{\sqrt{15}}{4}}\mathrm{x}$

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y = 4^x

^{b) $\mathrm{y}={\log }_{\frac{1}{4}}\mathrm{x}$}

Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: S = A.e^rt, trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet–nam. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f(t) = c(1 – e^–kt), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 6 trang 47 Toán 11 Tập 2: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺]. Phân tích nồng độ ion hydrogen [H⁺] trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:

Mẫu 1: [H⁺] = 8 . 10^–7; Mẫu 2: [H⁺] = 2 . 10^–9.

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.

Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% /năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức $\mathrm{y}={\log }_{1,06}\left(\frac{\mathrm{x}}{10}\right)$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiện đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2%/năm. Giả sử trong suốt n năm (n ∈ ℕ*), doanh nghiệp đó không rút tiền ra và số tiền lãi sau mỗi năm sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian này.

Mối liên hệ giữa số tiền doanh nghiệp đó có được (cả gốc và lãi) với số năm gửi ngân hàng gợi nên hàm số nào trong toán học?

Xét bài toán ở phần mở đầu.

a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm;

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm.

Cho hàm số mũ y = 2^x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng  tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = 2^x, nêu nhận xét về:

• $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{2}^{\mathrm{x}}; \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{2}^{\mathrm{x}}$;

• Sự biến thiên của hàm số y = 2^x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Cho hàm số mũ y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$ (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$, nêu nhận xét về:

• $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}; \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$;

• Sự biến thiên của hàm số y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{x}}$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}$.

Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit.

Cho hàm số lôgarit y = log₂x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số y = log₂x, nêu nhận xét về:

• $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\log }_2\mathrm{x}; \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\log }_2\mathrm{x}$;

• Sự biến thiên của hàm số y = log₂x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Cho hàm số lôgarit y = ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$ (Hình 7).

c) Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$, nêu nhận xét về:

• $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}; \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$;

• Sự biến thiên của hàm số y = ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{x}$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{1}{3}}\mathrm{x}$.