Giải bài tập HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Kết nối tri thức
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1. Bài 15: Giới hạn của dãy số. Toán 11 - Kết nối tri thức
Đề bài:
Làm quen với việc tính tổng vô hạn
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = .
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Ta có: u1 là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .
Cứ tiếp tục như thế, ta được:
Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q = .
Do đó, tổng của n số hạng đầu là
Sn = u1 + u2 + ... + un = .
b) Ta có: S = = 1 - 0 = 1.
Nguồn: loigiaitoan.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao
Bài tập liên quan:
Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1
Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với và . Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) ;
b) .
Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1
Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.
HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1
Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số (un) với un = .
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?
HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1
Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
Cho dãy số (un) với un = . Xét dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 1.
Tính .
Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1
Cho dãy số (un) với un = . Chứng minh rằng .
Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.
HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1
Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số (un) và (vn) với .
Tính và so sánh: và .
Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1
(Giải thích nghịch lí Zeno)
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., AnAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1
Nhận biết giới hạn vô cực
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?