Giải bài tập HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1. Bài 15: Giới hạn của dãy số. Toán 11 - Kết nối tri thức

Đề bài:

Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.

b) Tìm S = limn+Sn.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Ta có: u1 là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó u1=12.

Cứ tiếp tục như thế, ta được: u2=12u1; u3=12u2; ...; un=12un-1; ...

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1=12 và công bội q = 12.

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

Sn = u1 + u2 + ... + unu11-qn1-q=121-12n1-12=1-12n.

b) Ta có: S = limn+Sn=limn+1-12n=limn+1-limn+12n = 1 - 0 = 1.

Nguồn: loigiaitoan.com


Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1

Tìm các giới hạn sau:

a) limn+n2+n+12n2+1;

b) limn+n2+2n-n.

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1

Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với limn+un=2 và limn+vn=3. Tìm các giới hạn sau:

a) limn+un2vn-un;

b) limn+un+2vn.

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) un=n2+12n-1;

b) vn=2n2+1-n.

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1

Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số (u) với u = -1nn.

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ uđến 0 nhỏ hơn 0,01?

HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số (un) với un = n+-1nn.  Xét dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 1.

Tính limn+vn.

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1

Cho dãy số (un) với un = 3.2n-12n. Chứng minh rằng limn+un=3.

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 23 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1

Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (un) và (vn) với un=2+1n; vn=3-2n.

Tính và so sánh: limn+un+vn và limn+un+limn+vn.

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1

(Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., A­nAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1

Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Giải bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 5: Dãy số

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài tập cuối chương 3

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 11: Hai đường thẳng song song

Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Bài 14: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5

Hoạt động thực hành trải nghiệm - Tập 1

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

Lực căng mặt ngoài của nước

Hoạt động thực hành trải nghiệm - Tập 2

Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động thực hành trải nghiệm Hình học

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 19: Lôgarit

Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 29: Công thức cộng xác suất

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài tập cuối chương 8

Chương 9: Đạo hàm

Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 9