Giải bài tập HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1. Bài 7: Cấp số nhân. Toán 11 - Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S_n = u₁ + u₂+ ... + u_{n – 1} + u_n, thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để được biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n chỉ chứa u₁ và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức tính S_n.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1}= u₁ . q(^{n – 1) – 1}= u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂+ ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}(1).

b) Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ)

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

⇒ S_n = $\frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ (với q ≠ 1).

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 2.15 trang 55 Toán 11 Tập 1

Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) $2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, . . .$

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.16 trang 55 Toán 11 Tập 1

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$ .

a) un = 5n;

b) un = 5n;

c) u1 = 1, un = nun – 1;

d) u1 = 1, un = 5un – 1.

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.17 trang 55 Toán 11 Tập 1

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.18 trang 55 Toán 11 Tập 1

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.19 trang 55 Toán 11 Tập 1

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.20 trang 55 Toán 11 Tập 1

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Xem cách giải chi tiết

Bài 2.21 trang 55 Toán 11 Tập 1

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Xem cách giải chi tiết

Mở đầu trang 52 Toán 11 Tập 1

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Xem cách giải chi tiết