Giải bài tập HĐ1 trang 29 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 5.1 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.

Bài 5.2 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Bài 5.3 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.

Bài 5.4 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

Bài 5.5 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.

Bài 5.6 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài 5.7 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Bài 5.9 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.

Bài 5.10 trang 40 Toán 12 Tập 2: Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ thì moment lực $\overrightarrow{\mathrm{M}}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{\mathrm{M}}=\left[\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{F}}\right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\overrightarrow{\mathrm{M}}$ có phương thẳng đứng?

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (a; b; c) và = (a'; b'; c').

a) Vectơ =. (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b) có vuông góc với cả hai vectơ  và hay không?

b) khi và chỉ khi  và có mối quan hệ gì? 

Trong không gian Oxyz, cho = (2; 3; 1) và = (4; 6; 2). Tính .

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ  không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực  để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức .

a) Cho = (x; y; z), = (a; b; c). Tính .

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho  thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M₀(x₀; y₀; z₀) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ  và có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) x² + 2y² + 3z² – 1 = 0;

b) - y + + 5 = 0;

c) xy + 5 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2 = 0.

a) Điểm A(−2; 1; 0) có thuộc (α) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).