Giải bài tập Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2. Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Đáp án và cách giải chi tiết:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 0.

Ta có ∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = |∆x| – |0| = |∆x|.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{|Δ x|}{Δ x} .$ $\frac{△ y}{△ x} = \frac{|△ x|}{△ x}$

Ta thấy $\lim_{△ x \to 0^{+}} \frac{△ y}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{+}} \frac{|△ x|}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{+}} \frac{△ x}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{+}} 1 = 1$

$\lim_{△ x \to 0^{-}} \frac{△ y}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{-}} \frac{|△ x|}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{-}} \frac{- △ x}{△ x} = \lim_{△ x \to 0^{-}} (- 1) = - 1$

Do đó $\lim_{△ x \to 0^{+}} \frac{△ y}{△ x} \neq \lim_{△ x \to 0^{-}} \frac{△ y}{△ x}$ nên không tồn tại $\lim_{△ x \to 0} \frac{△ y}{△ x}$

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0.

Ta có hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x khi x > 0 \\ 0 khi x = 0 \\ - x khi x < 0 \end{cases}$

⦁ Với x > 0 ta có hàm số f(x) = x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x) – x = ∆x.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x}{Δ x} = 1$ $\frac{△ y}{△ x} = \frac{△ x}{△ x} = 1$

Ta thấy $\lim_{△ x \to 0} \frac{△ y}{△ x} = \lim_{△ x \to 0} 1 = 1$

Do đó với x > 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = 1.

⦁ Với x < 0 ta có hàm số f(x) = –x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x < 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = – (x + ∆x) + x = –∆x.

Suy ra $\frac{△ y}{△ x} = \frac{- △ x}{△ x} = - 1$

Ta thấy $\lim_{△ x \to 0} \frac{△ y}{△ x} = \lim_{△ x \to 0} (- 1) = - 1$

Do đó với x < 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = –1.

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x₀= 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Nguồn: loigiaitoan.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 1 trang 63 Toán 11 Tập 2

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa:

Xem cách giải chi tiết

Bài 3 trang 63 Toán 11 Tập 2

Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6)

Xem cách giải chi tiết

Bài 4 trang 63 Toán 11 Tập 2

Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3500.

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

Xem cách giải chi tiết

Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 2

Tên lửa vũ trụ là phương tiện được chế tạo đặc biệt giúp con người thực hiện các sứ mệnh trong không gian như: tiếp cận đến các hành tinh ngoài Trái Đất, vận chuyển con người và thiết bị lên vũ trụ, ... (Hình 1).

Nếu quỹ đạo chuyển động của tên lửa được miêu tả bằng hàm số theo thời gian thì đại lượng nào biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm?

Xem cách giải chi tiết

Hoạt động 1 trang 60 Toán 11 Tập 2

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ = 1 (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.

Xem cách giải chi tiết

Luyện tập 1 trang 61 Toán 11 Tập 2

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ tại x₀ = 2 bằng định nghĩa.

Xem cách giải chi tiết

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Xem cách giải chi tiết

Hoạt động 2 trang 62 Toán 11 Tập 2

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M₀ cố định thuộc (C) có hoành độ x₀. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M₀, kí hiệu x_M là hoành độ của điểm M và k_M là hệ số góc của cát tuyến M₀M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k₀ = $\lim_{x_{M} \to x_{0}}$ k_M. Khi đó, ta coi đường thẳng M₀T đi qua M₀ và có hệ số góc k₀ là vị trí giới hạn của cát tuyến M₀M khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M₀.s