Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

Dưới đây là công thức Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

Nhận xét:

Số điểm cực trị của hàm số |f(x)| bằng tổng số điểm cực trị của hàm số f(x) và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình f(x) = 0. Hay cách khác bằng tổngsố điểm cực trị của hàm số f(x).

Số điểm cực trị của hàm số f(|x|) bằng 2a + 1, trong đó a là số điểm cực trị dương của hàm số f(x).

Đặc biệt với hàm số có hai điểm cực trị . Khi đó hàm số y = |f(x)| có n điểm cực trị

và tương đương với f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 1: Cho hàm số . Số giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10; 10] để hàm số g(x) = |f(x) + 2| có 5 điểm cực trị là

A. 10.

B. 11.

C. 9.

D. 7.

Lời giải

Ta có ycbt ⇔ f(x) + 2 = 0 ⇔

có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 ⇒ m ∈ {1; ...; 10}.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hàm số . Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = |f(x)| có 5 điểm cực trị là

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải

Ta có ycbt ⇔ f(x) = 0 ⇔

có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng các phần tử của S bằng

A. -2.

B. 3.

C. 7.

D. 4.

Lời giải

Ta có ycbt ⇔ có 3 nghiệm phân biệt (*)

Ta có .

Vậy (*)

Chọn đáp án B.

Các bài toán biện luận số điểm cực trị của hàm tuyệt đối dạng |u(x)| ta đưa về xét dấu đồng thời của u(x) và u'(x).

Chi tiết xem ví dụ:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-200; 200] để hàm số có đúng 3 điểm cực trị?

Lời giải

Xét .

Ta có bảng biến thiên của g(x), h(x) như sau:

Hàm số f(x) = |u(x)| có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

TH1: u'(x) có 1 lần đổi dấu và u(x) có 2 lần đổi dấu ⇒ m ∈ {-200; ...; -139; 11; ...; 200}.

TH2: u'(x) có 3 lần đổi dấu và u(x) có 0 lần đổi dấu ⇒ m ∈ {-10; ...; -7}.

Vậy m ∈ {-200; ...; -139; -10; ...; -7; 11; ...; 200}. Có tất cả (-139 - (-200) + 1) + (-7 - (-10) + 1) + (200 - 11 + 1) = 256 giá trị nguyên của m ∈ [-200; 200] thoả mãn.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số có ít nhất 7 điểm cực trị?