Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Dưới đây là công thức Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Trong đó là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a; BC = 4a; SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. .

B. R = 6a.

C. .

D. .

Lời giải

Ta có .

Vậy .

Chọn đáp án A.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc có .

Ví dụ 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Biết rằng SA = 24, AB = 6, AC = 8. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho là

A. 676π.

B. .

C. .

D. 169π.

Lời giải

Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hoặc đặc biệt ở đây là tứ diện vuông đỉnh A ta có

Chọn đáp án A.

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Trong đó là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên.

Đặc biệt:

*Khối lập phương cạnh a có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

*Khối hộp chữ nhật có kích thước a, b, c có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. .

B. a = 2R.

C. .

D. .

Lời giải

Ta có . Vậy .

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng .

Khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng , khi đó .

Áp dụng cho khối tứ diện gần đều ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA' = 2a, AC = a, . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC'B' bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Ta có trong đó AA' = 2a và .

Vậy .

Chọn đáp án D.

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy trong đó là bán kính ngoại tiếp đáy; a, x tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức , trong đó là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và a tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Ta có .

Chọn đáp án B.

Công thức 6: Khối chóp đều hoặc khối chóp có độ dài các cạnh bên bằng nhau có , trong đó cb là độ dài cạnh bên và h là chiều cao khối chóp, được xác định bởi .