Mặt cầu trong không gian | SGK Toán 12 - Cánh diều
Mặt cầu trong không gian
Dưới đây là công thức Mặt cầu trong không gian
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1) Lập phương trình mặt cầu:
• Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm
• Ngoài ra để lập phương trình mặt cầu ta có thể tìm các hệ số trong phương trình:
, với tâm
• Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính.
2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và mặt phẳng là hình chiếu của I lên mặt phẳng
• thì
• thì
• thì
3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu tâm là hình chiếu của I lên mặt phẳng
• thì
• thì
• thì
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ . Tính khoảng cách từ A đến
Đường thẳng và có
là VTCP.
Gọi H là hình chiếu của A lên
Nên phương trình mặt cầu là
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
Gọi
Phương trình tham số đường thẳng Vì
Ta có
• phương trình mặt cầu
• suy ra phương trình mặt cầu
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc
1. Lập phương trình mặt cầu
2. Chứng minh rằng mặt cầu
3. Lập phương trình mặt phẳng
Giải
1. Gọi
Ta có: và
nên
Vậy phương trình mặt cầu
2. Đường thẳng là VTCP và đi qua
.
Suy ra
Vậy đường thẳng
Cách khác:
Phương trình tham số của , thay vào phương trình mặt cầu
Suy ra mặt cầu
Vậy đường thẳng
3. Vì mặt phẳng
Do đó làm VTPT.
Vậy phương trình mặt phẳng
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ
1. Lập phương trình mặt cầu
2. Viết phương trình mặt phẳng sao cho giao tuyến của mặt phẳng
Giải
1.Vì mặt cầu
Vì
Vậy phương trình mặt cầu
2. Đường thẳng d đi qua và có
là VTCP.
Phương trình của
Hay
Trong đó và
Mặt cầu , bán kính
Theo giả thiết, ta suy ra
Do đó:
•
• ta chọn
Ví dụ 5. Lập phương trình mặt phẳng
1. ,
2. ,
3. và cắt mặt cầu
Giải
1. Đường thẳng qua
Đường thẳng qua
Cặp véc tơ chỉ phương của và
nên một véc tơ pháp tuyến của
Phương trình mặt phẳng và
là
2. Đường thẳng qua
và
Cặp véc tơ chỉ phương của và
nên một véc tơ pháp tuyến của
Phương trình mặt phẳng và
là
3. Vì nên
là điểm
và
Phương trình mặt phẳng
Vì nên
Mặt phẳng nên
Do đó
Nếu a=2b thì chọn ta có
nên phương trình mặt phẳng
Nếu thì chọn
nên phương trình mặt phẳng
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là: và