Ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian
Dưới đây là công thức Ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Phương pháp tổng quát: Để giải một bài toán hình học không gian tổng hợp bằng phương pháp tọa độ, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa Oxyz
Xác định ba đường thẳng đồng quy và đôi một cắt nhau trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều …), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ.
Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian.
Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán.
Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích.
Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận.
Bước 4: Giải quyết bài toán.
Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian.
Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích …
2. Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian
a. Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
+ Với hình lập phương:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
+ Với hình hộp chữ nhật:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
Chú ý: Tam diện vuông là một nửa của hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự như hình hộp chữ nhật.
b. Với hình hộp đứng có đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy.
Nếu thì:
,
,
,
,
,
,
,
Chú ý: Với lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ tọa độ tương tự như trên với gốc tọa độ là trung điểm AC, ,
còn trục Oz đi qua trung điểm hai cạnh AC, A'C'
c. Hình chóp đều.
+ Hình chóp tam giác đều ta chọn hệ tọa độ sao cho O là trung điểm BC,
,
Khi đó ,
,
,
.
+ Hình chóp từ giác đều , ta chọn hệ tọa độ sao cho O là tâm đáy
,
,
. Khi đó:
Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục như trên ta có thể chọn hệ trục bằng cách khác.
Chẳng hạn với hình chóp tam giác đều ta có thể chọn
d. Hình chóp S.ABCD có
+ Nếu đáy là hình chữ nhật ta chọn hệ trục sao cho ,
+ Nếu đáy là hình thoi, ta chọn hệ trục sao cho O là tâm của đáy, ,
và
Chú ý: Cho hình chóp
+ Nếu đáy ABC là tam giác vuông tại A thì cách chọn hệ trục hoàn toàn tương tự như hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật.
+ Nếu đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ trục tọa độ như hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, khi đó gốc tọa độ là trung điểm cạnh AC.
e. Hình chóp S.ABCD có
Đường cao
Nếu tam giác , ta chọn hệ trục sao cho
. Khi đó
Chú ý:
+ Nếu vuông tại
+ Nếu tam giác
Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp , đôi một vuông góc. Điểm
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
Vì khoảng cách từ M đến các mặt phẳng
Suy ra phương trình . Vì
.
Thể tích khối chóp O.ABC:
Từ
Vậy
Ví dụ 2. Cho hình chóp S. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
Gọi
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm:
Ta có
Thể tích khối chóp
Vì
Vậy .
Ví dụ 4. Trong không gian
1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp.
2. Tìm điểm E trên đường thẳng
3. Tìm điểm M thuộc
1. Ta có
Hình chiếu của
Hình chiếu của và
2. Vì
Mà
3. Đặt
Ta có:
Theo giả thiết của để bài, ta có:
Mà
Khi đó
Do đó
Vì
Ví dụ 5. Cho hình chóp
Vì hai mặt phẳng
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, đặt
Vì là trung điểm
Tọa độ các đỉnh là:
Suy ra .
Do đó:
Theo giả thiết ta có:
.
Vì là trung điểm của
nên:
Từ đó suy ra thể tích khối chóp
Ta có: .
Suy ra
.
Vậy