Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương (Oxyz) | SGK Toán 12 - Cánh diều

I. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Đường thẳng d qua  và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$ $(t\in R)$ hoặc  $(abc\ne 0).$
Lưu ý: Chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số, ta có thể thực hiện theo cách sau:
$\Rightarrow d:\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$ $(t\in R).$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng AB, biết $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$
A.
B.
C.
D.

Lời giải:
Đường thẳng AB qua A(1;1;1) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(1;–1;2)$, có phương trình: $\frac{x–1}{1}=\frac{y–1}{–1}=\frac{z–1}{2}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ A, B để kiểm tra các đáp án phù hợp.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng MN, biết M(1;1;2) và N(2;0;3)
A.
B.
C.
D.

Lời giải:
Đường thẳng $MN$ qua $M(1;1;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=(1;–1;1)$ có phương trình: $\frac{x–1}{1}=\frac{y–1}{–1}=\frac{z–2}{1}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $AB$?
A. $\frac{x–3}{1}=\frac{y+1}{–1}=\frac{z–5}{2}.$
B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}.$
C. $\frac{x–1}{1}=\frac{y–1}{–1}=\frac{z–1}{1}.$
D. $\frac{x–2}{1}=\frac{y}{–1}=\frac{z–3}{2}.$

Lời giải:
Xét đáp án C. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;–1;2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{u}=(1;–1;1)$, suy ra phương trình ở đáp án C không là phương trình đường thẳng $AB.$
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ hai điểm $A$, $B$ để kiểm tra từng đáp án.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $P(1;0;1)$ và $Q(2;1;-1).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $PQ$?
A. $\frac{x–1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z–1}{–2}.$
B. $\frac{x–2}{1}=\frac{y–1}{1}=\frac{z+1}{–2}.$
C. $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z–3}{–4}.$
D. $\frac{x–1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{–2}.$

Lời giải:
Xét đáp án D. Thay tọa độ điểm $P(1;0;1)$ vào phương trình đường thẳng ta được: $\frac{1–1}{1}=\frac{0}{1}=\frac{1+2}{–2}$ sai.
Suy ra phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng $PQ.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d chứa trục Ox
A. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}.$
B. $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=0\end{array}.$
C. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=1\end{array}.$
D. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=t\end{array}.$

Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $O(0;0;0)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;0;0)$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}.$
Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ $O(0;0;0)$, $A(1;0;0)$ để kiểm tra các đáp án phù hợp.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục Ox?
A. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}.$
B. $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=0\end{array}.$
C. $\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=0\\ z=0\end{array}.$
D. $\{\begin{array}{l}x=1–t\\ y=0\\ z=1\end{array}.$

Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn $A(1;0;0)\in Ox$ không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục Ox
Chọn đáp án D.