Tổng hợp công thức Véctơ

Dưới đây là công thức Tổng hợp công thức Véctơ

1. Các định nghĩa

a) Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

b) Véctơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu $\vec{0}$ .

c) Ký hiệu: $\vec{A B}$ (điểm đầu là A , điểm cuối là B ) hay $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, . . .$

d) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của $\vec{A B}$ ký hiệu là $|\vec{A B}|$ độ dài của $\vec{a}$ ký hiệu là $|\vec{a}|$ .

e) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

f) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

g) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

h) Hai vec tơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có cùng độ dài. Tức là $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{a}, \vec{b} cùng hướng \\ |\vec{a}| = |\vec{b}| \end{cases}$

i) Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài. Vectơ đối của $\vec{A B}$ là $\vec{B A}$ , nghĩa là $- \vec{A B} = \vec{B A}$

2. Các quy tắc tính toán với vectơ

a) Quy tắc ba điểm (với phép cộng): $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

b) Quy tắc hình bình hành:

(i) $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

(ii) $\vec{A B} + \vec{A D} = 2 \vec{A E}$ trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD.

c) Quy tắc ba điểm (với phép trừ): $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{A B}$ .

d) Quy tắc hình hộp:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh Alà AB, AD, AA' có đường chéo là AC'. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{A C'}$ .

3. Một số hệ thức vectơ trọng tâm, cần nhớ

a) I là trung điểm của đoạn thẳng $A B \Leftrightarrow \vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

b) G là trọng tâm của tam giác $A B C \Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A K}$ (M là trung điểm cạnh BC)

c) G là trọng tâm của tứ diện $A B C D \Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

d) a và b ≠ 0 cùng phương $\Leftrightarrow \exists k \in ℝ : \vec{a} = k . \vec{b}$

e) a và b ≠ 0 cùng hướng $\Leftrightarrow \exists k : \vec{a} = k . \vec{b}$ (k > 0)

f) a và b ≠ 0 ngược hướng $\Leftrightarrow \exists k : \vec{a} = k . \vec{b}$ (k < 0)

g) Ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng $\Leftrightarrow \exists k \in ℝ \ \{0\} : \vec{A B} = k . \vec{A C} .$

4. Góc và Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ khác 0 . Lấy một điểm A bất kì và gọi B, C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{u}, \vec{A C} = \vec{v}$ .Khi đó, góc $\hat{B A C} (0 º \leq \hat{B A C} \leq 180 º)$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu là $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu $\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{v}$ thì $(\vec{u}, \vec{v}) = 0 º$ ; ngược hướng thì $(\vec{u}, \vec{v}) = 180 º$ ; vuông góc thì $(\vec{u}, \vec{v}) = 90 º$

b) Tích vô hướng của hai vecto

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u} . \vec{v}$ , được xác định bởi công thức: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{|u|} . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) .$

c) Một số tính chất và ứng dụng của tích vô hướng

Nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .
Bình phương vô hướng của một vectơ: $\vec{a}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ hay là ${\vec{A B}}^{2} = {|\vec{A B}|}^{2} = A B^{2} .$
Nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $\vec{b} \neq \vec{0}$ ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 .$
Công thức tính cô-sin của góc hợp bởi hai vectơ khác $\vec{0} : \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} .$

Tổng hợp công thức Véctơ | SGK Toán 12 - Cánh diều

Dưới đây là công thức Tổng hợp công thức Véctơ

Công thức SGK Toán 12 - Cánh diều

Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số.

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Chương 2. Tọa độ của vectơ trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian.

Bài 2. Toạ độ của vectơ.

Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Bài 1. Nguyên hàm.

Bài 3. Tích phân.

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân.

Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Bài 3. Phương trình mặt cầu.

Chương 6. Một số yếu tố xác suất

Bài 1. Xác suất có điều kiện.

Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes.