Dạng toán thường gặp tuyển sinh 10 - Chuyên đề 8. Hình học. | Toán 9 - Cánh diều

Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AE, BF và CN cắt nhau tại H ( ).
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M . Chứng minh BM=BN .
c) Biết AH=BC. Tính số đo góc A của tam giác ABC .

Lời giải

a) Ta có:

Xét tứ giác CEHF có: mà hai góc này đối nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:

Xét tứ giác AFHN có mà hai góc này đối nhau  là tứ giác nội tiếp.

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN) (1)

Tứ giác HECF nội tiếp(cmt)

( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HE) (2)

Ta có: (2 góc cùng phụ với ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra hay

Xét (O) có:

(hai góc nội tiếp bằng nhau hai cung chắn bằng nhau)

(hai cung chắn bằng nhau hai dây bằng nhau) (đpcm)

c)  Xét hai tam giác vuông FAH và FBH ta có:

(vì cùng phụ với góc )

Vậy  

vuông cân

Vậy .

Câu 2: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn  kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC không đi qua tâm O (điểm B nằm giữa hai điểm M và C). Gọi H là trung điểm của BC . Đường thẳng OH cắt  tại hai điểm N, K (trong đó điểm K thuộc cung BAC) . Gọi D là giao điểm của AN và BC
a) Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp.
b) Chứng minh và  
c) Chứng minh rằng khi đường tròn  và điểm M cố định, đồng thời cát tuyến MBC thay đổi, thì điểm D nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải

a) Xét ) có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Có BC là dây không đi qua tâm, H là trung điểm của BC, KN là đường kính của đường tròn

Tứ giác AKHD có mà là 2 góc đối diện

Tứ giấc AKHD là tứ giác nội tiếp

b) Xét có là điểm chính giữa cung BC

(2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Xét và có:

đồng dạng

c) Tứ giác AKHD có (hai góc đối nhau) (1)

Mà   (2 góc kề bù) (2)

Nên

Mặt khác ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

cân tại M

Mà điểm M và cố định tiếp tuyến MA cố định và độ dài MA không đổi

D thuộc đường tròn tâm M bán kính MA.

Câu 3: Cho đường tròn đường kính AB. Dây cung MN vuông góc với AB, (AM<BM). Hai đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng AB .

a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.

b) Chứng minh rằng

c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của đường tròn .

Lời giải 

a) Tứ giác AHKM có: (vì ) và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (kề bù với )

Suy ra tứ giác AHKM nội tiếp đường tròn đường kính AK.

b) Xét và có:

+) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) Đường kính A là điểm chính giữa cung MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Suy ra

c) 

Ta có HM giao với đường tròn tại m, ta phải chứng minh

Tứ giác AHKM nội tiếp (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HK)

(2 góc đối đỉnh)

( là điểm chính giữa cung MN, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

( cân tại O)

Mà (kề bù với , góc nội tiếp chắn  nửa đường tròn)

tại

HM là tiếp tuyến của .

 

Câu 4: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M khác B, M khác C), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E.
a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp
b) Chứng minh tia MA là phân giác của góc CMD
c) Chứng minh
d) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MD và AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEN nằm trên đường thẳng CI.

Lời giải 

a)Xét tứ giác BMEF có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà hai góc  nằm ở vị trí đối nhau nên tứ giác BMEF nội tiếp
b) Ta có  là trung điểm của CD (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)
=> AB là đường trung trực của
Ta có và

là phân giác của
c) Xét và  có: chung
và

d) Trên CI lấy điểm H sao cho HE vuông góc với CD
Cần chứng minh tứ giác CEHN nội tiếp đường tròn đường kính CH, ta đi chứng minh
Ta có: tứ giác BMNI nội tiếp
tứ giác ACNI nội tiếp
Ta có:  (đồng vị); (cùng chắn cung AC )
tứ giác CEHN nội tiếp
Mà là đường kính
=> tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEN nằm trên CI .