Công thức Brahmagupta tính diện tích tứ giác bất kì khi biết độ dài 4 cạnh và tổng hai góc đối diện | Toán 9 - Cánh diều

Công thức Brahmagupta tính diện tích tứ giác bất kì

Chắc hẳn nhiều em đã quen thuộc với công thức tính diện tích của một tứ giác khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa chúng là .

Chứng minh. Gọi O = AC ∩ BD, góc như hình vẽ khi đó 

Vậy khi một tứ giác có độ dài bốn cạnh liệu có tính được diện tích của nó hay không?

Trường hợp đặc biệt nếu tứ giác nội tiếp, ta có công thức tính diện tích của nó gọn đẹp sau:

Chứng minh

Ví dụ 1: Xét tứ giác ABCD nội tiếp độ dài các cạnh là AB = 1, BC = 2, CD = 3, DA = 4. Tính diện tích của tứ giác này.

Lời giải

Vì là tứ giác nội tiếp nên .

Theo định lí côsin cho hai tam giác ABD và CBD, ta có

.

.

Trường hợp tổng quát:

Ví dụ 2: Xét tứ giác có độ dài các cạnh bằng 1, 2, 3, 4 và tổng hai góc đối của tứ giác bằng 90^o. Tính diện tích của tứ giác này.

Thực tế, nhiều trường hợp ta phải tính diện tích của một mảnh đất hình tứ giác. Trong trường hợp này, ta đo độ dài bốn cạnh và một đường chéo của mảnh đất ta sẽ tính được diện tích của mảnh đất theo công thức Hê – rông cho tam giác.

Xét tứ giác ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d và AC = e.

Khi đó

 với

Ví dụ 1: Một mảnh đất tứ giác có các kích thước như hình vẽ, tính diện tích của mảnh đất này

Lời giải

Tam giác ABC có a = 3,3m; b = 8m; e = 11m; .

Tam giác ADC có c = 4,4m; d = 8,5m; e = 11m; .

Nên diện tích mảnh đất là

.