Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp | Toán 10 - Cánh diều

HOÁN VỊ

Cho tập A có n $(n\ge 1)$  phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).  Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là  $P_n=n!=(n-1)!n=n(n-1)(n-2)...1$

Quy ước: 0!=1

* Hoán vị lặp 

Cho k phần tử khác nhau: $a_1,a_2,...,a_k$. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm $n_1$ phần tử $a_1$; $n_2$ phần tử $a_2$;...; $n_k$ phần tử $a_k$ $(n_1+n_2+...+n_k=n)$ theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu $(n_1,n_2,...,n_k)$của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n kiểu $(n_1,n_2,...,n_k)$ của k phần tử là: $P_n(n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$.

* Hoán vị vòng 

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử. Số các hoán vị vòng của n phần tử là: $Q_n=(n-1)!$

Ví dụ 1: Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi sao cho các 
nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau. 
Lời giải: 
Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế: 4! cách. 
Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh: có 7! cách 
Vậy có 7! 4! cách sắp xếp. 

Ví dụ 2: Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

Lời giải: 
Xếp 8 người thành hàng ngang có $P_8$ cách. 
Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có 7.2!.6! cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là: $P_8$ - 7.2!.6! =30240 cách.

CHỈNH HỢP

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với $1\le k\le n$. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). 
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử $1\le k\le n$ là: $A_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$

Chú ý: $P_n=A_n^n$

Ví dụ 1: Cho hàng ghế gồm 9 ghế đánh số thứ  tự từ 1 đến 9. Tìm số cách xếp 4 nam và 5 nữ vào hàng ghế này sao cho 3 nam ngồi ở các vị trí 1,2,3. 

Lời giải:

Xếp 3 nam vào các vị trí 1,2,3 có $A_4^3=24$ cách.

Xếp 1 nam còn lại và 5 nữ vào các vị trí còn lại có $P_6=6!$ cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là: 24.6!=17280 cách.

Ví dụ 2: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?

Lời giải 
 Xếp vị trí cho 6 học sinh có 6! cách. 
 Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính 5 vách ngăn được tạo ra giữa 6 học sinh. Số cách xếp 3 thầy giáo vào 5 vị trí là$A_5^3$ cách 
 Vậy theo quy tắc nhân thì có $6!.A_5^3=43200$ cách.

TỔ HỢP 

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với $1\le k\le n$. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). 

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử $1\le k\le n$là  $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Chú ý: $C_n^0=C_n^n=1$

Ví dụ 1: Trong một bình đựng 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên. Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên cùng màu?

Lời giải 

Số cách lấy được 2 viên bi màu đỏ: $C_6^2$ cách

Số cách lấy được 2 viên bi màu xanh: $C_5^2$ cách

Số cách lấy được 2 viên cùng màu là $C_6^2+C_5^2$ cách.

Ví dụ 2: Có 15 cặp vợ chồng tham gia buổi tiệc. Các ông chồng bắt tay với tất cả mọi người trừ vợ mình. Các bà 
vợ thì không bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Lời giải 

15 cặp vợ chồng, tức 30 người có $C_{30}^2$cái bắt tay. 
Số cái bắt tay không thỏa mãn yêu cầu bài toán: 
   Cái bắt tay giữa các bà vợ: $C_{15}^2$
   15 cái bắt tay của 15 cặp vợ chồng

$\Rightarrow C_{30}^2$  cái bắt tay không thỏa yêu cầu bài toán. 
 Số cái bắt tay thỏa mãn là $C_{30}^2$-( $C_{15}^2$+15)=315 cái.