Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và bài tập áp dụng | Toán 11 - Cánh diều

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và bài tập áp dụng

Dưới đây là công thức Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và bài tập áp dụng

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình: $d_{1} : {\begin{array}{l} x = x_{1} + a_{1} t \\ y = y_{1} + b_{1} t \\ z = z_{1} + c_{1} t \end{array}$ và $d_{2} : {\begin{array}{l} x = x_{2} + a_{2} t^{'} \\ y = y_{2} + b_{2} t^{'} \\ z = z_{2} + c_{2} t^{'} \end{array}$ $(t; t^{'} \in R) .$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}$ và $d_{2}$ theo một trong các cách sau:

Cách 1:

+ Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương ${\vec{a}}_{1}$ của $d_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ của $d_{2} .$
+ Bước 2: Xác định các điểm $M_{1} \in d_{1}$ , $M_{2} \in d_{2} .$
+ Bước 3: Lúc đó .

Cách 2:

+ Bước 1: Gọi $H \in d_{1}$ , $K \in d_{2}$ (lúc này $H$ , $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$ , $t^{'}$ ).
+ Bước 2: Xác định $H$ , $K$ dựa vào:
${\begin{array}{l} H K ⊥ d_{1} \\ H K ⊥ d_{2} \end{array}$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} \vec{H K} . {\vec{a}}_{1} = 0 \\ \vec{H K} . {\vec{a}}_{2} = 0 \end{array} .$
+ Bước 3: Lúc đó: $d (d_{1}; d_{2}) = H K .$
Nhận xét: Trong nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung thì nên sử dụng cách 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz·, tính khoảng cách d từ giữa hai đường thẳng ,

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau.

Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Cách 2: (Sử dụng công thức).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Chọn ,

Lúc đó:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz·, gọi M,N là các điểm bất kì lần lượt thuộc và .Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN là khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Chọn ,

Lúc đó:

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ,

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau.Gọi HK là đoạn vuông góc chung của và => mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính HK

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Mặt cầu cần tìm có tâm là trung điểm HK, bán kính có phương trình:

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng và .Tính tổng S=a+b

A. S=2

B. S=-2

C. S=4

D. S=-4

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau.

Kiểm tra được và chéo nhau.

Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng , từ giả thiết suy ra a=1, b=1

Cách 2:

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Do là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung cOX·a hai đường thẳng và suy ra:

Vậy a=1, b=1

Chọn đáp án A.

Công thức Toán 11 - Cánh diều

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất

Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Từ điển Phương Trình Hoá Học

Al+I2 → AlI3 Cl2+KBr → Br2+KCl Al(OH)3+H2SO4 → Al2(SO4)3+H2O CaF2+H2SO4+SiO2 → H2O+CaSO4+SiF4 O2+Na2B4O7 → NaBO2+B2O3

Công Thức Vật Lý

Vận tốc của pháo và đạn (có yếu tố vận tốc tương đối)